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ASI - M´ethodes num´eriques - Examen m´edian - Lundi 13 Novembre 2000 - 1h30
Exercice 1 Complexit´e 7 points
1. Quelle est la complexit´e du probl`eme du calcul du produit de deux matrices carr´ees de dimensionn.
2. Quelle est la complexit´e du probl`eme du calcul du d´eterminant d’une matrice carr´ee de dimensionn.
3. Quelle est la complexit´e du probl`eme du calcul de l’inverse d’une matrice carr´ee de dimensionn.
4. Quel est la complexit´e de l’algorithme suivant : procedure (x,y)=carree(x,y,n)
si n > 1 pour i = 1:n
x(i) = x(i)*y(i)-n/2;
y(i) = x(i)/y(i)+n/2;
fait
(x,y)=carree(x,y,n/2) pour i = 1:n
x(i) = x(i)/y(i)+n/2;
y(i) = x(i)*y(i)-n/2;
fait
(x,y)=carree(x,y,n/2) sinon rien
fin de la procedure
Exercice 2 Presque bon 5 points
1. La matriceA=
0 1 1 1 1 1 1 0 0
est elle inversible ?
2. Pour ε >0 on consid`ere la matrice Aε =
0 1 1 1 1 1 1 0 ε
. R´esoudre par la m´ethode de Gauss le syst`eme d’´equations lin´eaires :
Aεx=b (1)
Indiquez `a quelle condition la solution existe lorsque εtend vers 0.
3. Application : calculez la solution du syst`eme (1) avecb= (1,2,1)>. Que devient la solution lorsqueεtend vers 0.
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Exercice 3 les moindres carr´es 8 points
Un capteur permet de mesurer la temp´eraturey partir de la taillexd’un filament m´etalique. Afin d’´etaloner ce capteur, on r´ealise une campagne de mesures. A l’issue de cette campagne on dispose d’un ensemble den triplets de mesures (xi, yi, wi), i= 1, n. L’´etalonage consiste `a retrouver,
`
a partir de l’´echantillon, des scalairesai, i= 0, p−1 tels que la meilleure pr´ediction pour la temp´erature soit les param`etres a∗i, i = 0, p−1 min- imisant l’erreur quadratique suivante:
J(a0, a1, ..., ap−1) =
n
X
i=1
wi
yi−
p−1
X
j=0
ajxji
2
(2)
1. montrez que le cout quadratiqueJ(a) peut s’´ecrire `a l’aide de vecteurs et de matrices sous forme suivante :
J(a) = (y−Xa)>W(y−Xa)
o`u a, y sont des vecteurs et X, W des matrices que l’on explicitera (pr´eciser leur dimension).
2. Montrez que la minimisation du cout J(a) conduit `a un syst`eme lin´eaire Ba = c o`u B est une matrice et c un vecteur que l’on ex- plicitera,
3. Quelle m´ethode vue en cours sugg´erez vous pour r´esoudre ce syst`eme lin´eaire ?
4. Donnersans le justifier, en langage MATLAB, la fonction permet- tant de calculer les valeurs du vecteuraminimisant la fonctionJ(a) en utilisantpet les vecteursx, y, w comme donn´ees.
