3) Ecrire les fonctionsϕ etϕ′ donn´ees par la m´ethode de Newton et donner une estimation de l’erreurxp−a, o`u (xp) est une suite r´ecurrente d´efinie par x et xp+1 =ϕ(xp)

Universit´e P. et M. Curie Sylvie Delabri`ere Licence de Math´ematique Equations diff´erentielles Ann´ee 2005-2006 M´ethodes de r´esolution num´erique LM 383 Examen du 23 Juin 2006

(sans document ni calculette)

(Les probl`eme I, II et III sont ind´ependants)

I

On consid`ere l’´equation de Rdans lui-mˆeme : 5x⁵−9x+ 10 = 0 1) Montrer que cette ´equation n’admet qu’une racine r´eelle a.

2) Montrer que −1,5≤a ≤ −1.

3) Ecrire les fonctionsϕ etϕ^′ donn´ees par la m´ethode de Newton et donner une estimation de l’erreurx_p−a, o`u (xp) est une suite r´ecurrente d´efinie par x0 ∈[−1,5;−1] et x_p+1 =ϕ(xp).

4) Calculer la constante M qui intervient dans l’erreur de la m´ethode de Newton et en d´eduire dans quel intervalle on doit choisir x0 pour que la suite r´ecurrente converge.

5)On consid`ere la fonctionϕ1(x) = 5

9(x⁵+ 2). Peut-on appliquer la m´ethode it´erative de la question 3) avec la fonction ϕ1 pour approcher a?

II On se place sur l’intervalle [−1,+1].

1)Calculer les polynˆomes de base de degr´e 3 associ´es aux points{−1,−1 3,1

3,1}.

2) En d´eduire le polynˆome d’interpolation, p3, de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 d’une fonction f d´efinie sur [−1,+1], associ´e aux points{−1,−1

3,1 3,1}.

3) D´ecrire la m´ethode de quadrature sur [−1,+1] obtenue en rempla¸cant l’int´egrale de f par celle dep3.

4) Quel est l’ordre de cette m´ethode ?

5) Expliciter le noyau de Peano K de cette m´ethode.

6) Montrer que K garde un signe constant sur [−1,+1].

7) Donner une ´evaluation de l’erreur de cette m´ethode dans le cas o`u la fonction f a la r´egularit´e requise.

1

III

Soit f(t, x) une fonction continue sur [0, T]×R, lipschitzienne par rapport `a x uniform´ement en t. On ´etudie le sch´ema num´erique d´efini par la m´ethode de Runge-Kutta, donn´ee par le tableau suivant :

(M2) 1 2

1 2 (M3) 1

2 1 4

1 4 (M4) 1 1

6 2 3

1 6 (M) 1 1

8 3 8

3 8

1 8

1)D´ecrire les m´ethodes de quadraturesM2, M3, M4, M et donner leurs ordres.

2)Ecrire l’algorithme d´efinissant le sch´ema num´erique associ´e `a cette m´ethode.

3) Quel est l’ordre de ce sch´ema ?

4) Expliciter la fonction F qui d´efinit le sch´ema num´erique associ´e `a cette m´ethode.

5) Donner la constante de stabilit´e du sch´ema.

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