Partie II. Méthode de Newton

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MPSI B DS 6 29 juin 2019

Problème I.

Dans tout le problème, on confondra un polynôme à coecients réels avec la fonction polynomiale dénie dansRqui lui est associée.

Partie I. Irrationnalité dee^m

Dans cette partie, on admet que pour tout entier natureln, il existe des polynômes A_n etBn à coecients dansZet de degré inférieur ou égal àndénissant une fonctionfn

∀x∈R : fn(x) =An(x) +Bn(x)e^x telle que :

∀k∈ {0,· · ·, n} : f_n^(k)(0) = 0

∀x∈R : f_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =xⁿe^x

1. Calculer des polynômesAn etBn satisfaisant aux conditions pournégal à 1 ou 2.

2. a. Calculer, à l'aide de la formule de Leibniz, la dérivéen+ 1ème de la fonction x→ x²ⁿ⁺¹e^x

(n+ 1)!

Montrer que le coecient dexⁿe^xest un entier à préciser.

b. Montrer que :

∀x >0 : 0< f_n(x)< x²ⁿ⁺¹e^x (n+ 1)!

(on pourra utiliser des tableaux de variations et des dérivations successives) 3. Soitm un entier naturel non nul, on suppose qu'il existe un entier qnon nul tel que

qe^msoit entier. Montrer que pour tous les entiersn: qfn(m)∈Z

En déduire une contradiction et conclure.

Partie II. Généralisation de la formule du binôme.

Pour tout couple(m, k)∈Z×N, on dénit des nombresc_m,k par les relations ∀m∈Z : cm,0= 1

∀k≥1 : c0,k= 0

et

∀k≥1 : cm,k=c_m−1,k+c_m−1,k−1

1. Former le tableau desc_m,k avecmcomme numéro de la ligne etkcomme numéro de la colonne pourmentre−4 et+4et kentre0et 4.

Formulez des remarques intéressantes relativement à ces coecients.

2. On considère un anneauAdont le neutre additif est noté0A et le neutre multiplicatif (élément unité) est noté i. Cet anneau A contient un élémentd (dit nilpotent) pour lequel il existe un entiern≥1 tel que

dⁿ⁺¹= 0A

a. Calculer

n

X

k=0

c−1,kd^k

! (i+d) En déduire quei+dest un élément inversible deA. b. Montrer que pour toutm∈Z:

(i+d)^m=

n

X

k=0

cm,kd^k

Partie III. Existence de An etBn.

On désigne par Rn[X] l'espace des polynômes à coecients réels et dont le degré est inférieur ou égal à n. On considère l'anneau des endomorphismes de Rⁿ[X]. On rappelle que, dans cet anneau, la loi multiplicative est la composition◦ des endomorphismes.

L'unité est l'application linéaire identité notée icii:

i: (

Rn[X]→Rn[X] P →P

L'élément nilpotent considéré est la dérivation notée icid:

d: (

Rn[X]→ Rn[X]

P → P⁰

1. Montrer quei+dest un automorphisme deRn[X].

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S0606E

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2. Pour tout entiernon pose :

Bn= (i+d)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾(Xⁿ)

et on dénit la fonctionβn par :

∀x∈R : βn(x) =Bn(x)e^x

a. Préciser, à l'aide d'une puissance dei+dla dérivéemième deβn pour un entier naturelmquelconque. Que se passe-t-il pourm=n+ 1?

b. Pourm∈ {0,· · · , n}, montrer que β^(m)n (0)

m! ∈Z Conclure.

Problème II.

Dans ce problème,aet bsont deux réels tels quea < b etI= [a, b].

Partie I. théorème du point xe

Soitg:I→Iune fonctionk-lipschitzienne aveck∈[0,1[. 1. a. (Question de cours) Montrer quegest continue surI.

b. Montrer que l'équationg(x) =xpossède une solution et une seule dans le segment I. On noteraαcette solution.

2. Soitu∈I et (xn)_n∈_N la suite réelle dénie par :

x₀=u et ∀n∈N :x_n+1=g(x_n) a. Montrer que :

∀n∈N, |xn−α| ≤kⁿ|u−α|

En déduire que(xn)n∈Nconverge vers un réel à préciser.

b. Établir que :

∀(n, p)∈N², |xn+p−xn| ≤ 1−k^p

1−k |xn+1−xn|

c. En déduire que :

∀n∈N, |xn−α| ≤ kⁿ

1−k|x1−x0|.

3. On suppose quegest dérivable enα. a. Établir que|g⁰(α)| ≤k.

b. Avec les notations de la question2, montrer que, (∀n∈N, xn 6=α)⇒

xn+1−α x_n−α

n∈N

→g⁰(α)

Partie II. Méthode de Newton

Soitf une fonction deI dansRde classeC² et telle que : f(a)<0, f(b)>0, ∀x∈I, f⁰(x)>0 On s'intéresse ici à la résolution de l'équationf(x) = 0d'inconnuex∈I.

1. a. Montrer que cette équation possède une unique solution dans]a, b[. Cette solution sera notéeα.

b. Soitx0∈I. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente àf enx0.

2. On dénit la fonctiong par :

g:





 I→R x7→x− f(x)

f⁰(x) a. Justier queg est de classeC¹.

b. Calculerg(α)etg⁰(α).

3. Dans cette question seulement,f⁰ est décroissante.

a. Dessiner le graphe d'une fonctionf vériant toutes ces conditions.

b. Montrer que, l'intervalle[a, α]est stable par g. En déduire que l'on peut dénir une suite(xn)_n∈N par :

x₀=a et ∀n∈N, x_n+1=g(x_n).

c. Montrer que (xn)_n∈N converge versα.

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4. On revient au cas général.

a. Justier qu'il existeh >0tel que, en notantJ = [α−h, α+h], on ait :

∀x∈J, |g⁰(x)|<1 b. Établir que :∀x∈J, g(x)∈J.

c. Justier qu'il existek∈[0,1[tel que gsoit k-lipschitzienne surJ. d. En déduire que, pour toutu∈J, la suite(x_n)_n∈_Ndénie par

x0=u et ∀n∈N, xn+1=g(xn) converge versα.