Partie II : une méthode de "remontée modulaire"

Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP

Année 2019-2020 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 02 corsé facultatif

À rendre le vendredi 27 septembre

Durée : 4 heures – documents interdits – calculatrices interdites

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier :

les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Le but du problème est l’étude d’une technique intervenant dans un domaine lié à l’arithmétique, domaine appelé

« théorie des nombres p-adiques ». Une vague idée que l’on peut donner de l’adjectif p-adique est celle d’une suite d’entiers(x_i)_i≥1 vérifiant la condition decohérence :

xi+1≡xi (mod pⁱ)pour touti.

Un cas fréquent est celui oùpest un nombre premier, mais ce n’est pas là le seul exemple. On peut évoquer une telle suite à l’aide d’un schéma (cf.la figure encadrée ci-dessous) dans lequel les flèches verticales désignent successivement les réductions modulop, modulop². . .

... x3 : Z/p³Z

↓ x2 : Z/p²Z

↓ x₁ : Z/pZ

L’épreuve est essentiellement consacrée au développement d’une méthode permettant (sous certaines conditions) de

« remonter » une solutionxd’une congruence polynomialeP(x)≡0 ( mod p)en une solution de la même congruence, mais modulop², puisp³,etc.Le problème fournit ensuite quelques applications de cette méthode à des polynômes ou à des matrices (et non pas à des nombres !) avec comme conséquences :

• surjectivité de l’exponentielle :M_n(C)−→GL_n(C),

• existence de racines carrées, cubiques,etc., dansGLn(C),

• existence de la décompositionA=D+N,D diagonalisable,N nilpotente,DN=N D.

Partie I : préliminaires relatifs aux congruences et aux polynômes

SoitAun anneaucommutatif unitaire dont l’élément unité est noté1. On rappelle que la relation x≡y (mod a)

pour x, y, a éléments deA, signifie que x−y ∈Aa={λa|λ ∈A}; on rappelle également qu’un élémentz ∈A est inversible moduloas’il existe z⁰ ∈Atel quezz⁰≡1 (mod a); on dit alors quez⁰ est un inverse dezmoduloa.

1. Vérifierrapidement que

x≡y (mod a), x⁰ ≡y⁰ (mod a) ⇒ x+x⁰ ≡y+y⁰ (mod a) x≡y (mod a), x⁰ ≡y⁰ (mod a) ⇒ xx⁰≡yy⁰ (mod a)

x≡y(mod a) ⇒ P(x)≡P(y) (mod a) pour tout polynômeP à coefficients dansA.

1

2. Vérifier qu’un élémentz∈Ainversible moduloaet inversible modulobest inversible moduloab; en particulier, siz est inversible moduloa, il est inversible moduloaⁱ pour tout entier naturel non nuli.

On noteA[X]l’anneau des polynômes à coefficients dansA:A[X]est donc constitué des sommesa₀+a₁X+· · ·+anXⁿ, où lesai appartiennent à A; les opérations (addition, multiplication) sont définies de manière habituelle et confèrent à A[X] une structure d’anneau commutatif unitaire. La dérivée de P(X) = a0+a1X+a2X²+· · ·+anXⁿ, notée P⁰(X), est le polynômea1+ 2a2X+· · ·+nanXⁿ⁻¹. On désigne parA[X, Y]l’anneauA[X][Y].

3. SoitP ∈A[X]. En utilisant l’identitéXⁿ−Yⁿ = (X−Y)(Xⁿ⁻¹+Xⁿ⁻²Y +· · ·+XYⁿ⁻²+Yⁿ⁻¹), montrer l’existence d’un polynômeQ(X, Y)∈A[X, Y]tel queP(Y)−P(X) = (Y −X)Q(X, Y).

Que vautQ(X, X)pour leQtrouvé ? Montrer également l’existence d’un polynômeR(X, Y)∈A[X, Y]tel que P(X+Y) = P(X) +Y P⁰(X) +Y²R(X, Y).

Quelle relation existe-t-il entreQet R?

Partie II : une méthode de "remontée modulaire"

Dans toute cette partie, on désigne parAun anneau commutatif unitaire, parP un polynôme à coefficients dans Aet paraun élément de l’anneauA.

1. Soit un élément x ∈ A tel queP(x) ≡ 0 (mod aⁱ) où i est un entier naturel non nul. Si P⁰(x) est inversible moduloa, montrer l’existence d’un élémentλ∈Apour lequely=x+λaⁱ vérifie la congruence

P(y) ≡ 0 (mod aⁱ⁺¹).

Montrer que la classe dey moduloaⁱ⁺¹ ne dépend pas du choix d’un inverse deP⁰(x)moduloa; expliciteryen fonction dexet d’un inverse deP⁰(x)moduloa.

2. Un exemple : soitz⁰un inverse moduload’un élémentz. Comment appliquer la question précédente pour exhiber l’élémentz⁰(2−zz⁰)comme un inverse dezmoduloa²?

3. Soit une solutionx=x₁deP(x)≡0 ( mod a)telle queP⁰(x₁)soit inversible moduloa; en utilisant la question (I.1), expliquer comment construire par récurrence une suite(xi)_i≥1telle que

P(x_i)≡0 (mod aⁱ), x_i+1≡x_i (mod aⁱ).

Cette construction utilise un inverse deP⁰(x1)moduloa; montrer que le choix d’un autre inverse conduit à une suite(yi)i≥1 telle que

∀i≥1, y_i ≡x_i (mod aⁱ).

4. Soit un entieri≥1fixé et des élémentsxety deAvérifiant

y≡x(mod a), P(y)≡P(x) (mod aⁱ), P⁰(x)inversible moduloa.

En utilisant la question (I.3), montrer quey≡x(mod aⁱ).

5. On reprend les hypothèses et les notations de la question (II.3). Montrer que, pour i ≥1 fixé, le système de congruences

P(z)≡0 (mod aⁱ), z≡x1 (mod a), admet une unique solutionz moduloaⁱ, égale àxi.

Bon courage !

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