MPSI B Année 2018-2019. DM 9 pour le 25/01/19 29 juin 2019
Ce problème porte sur un critère d'irréductibilité pour les polynômes à coecients ra- tionnels.
Partie 1 : Contenu d'un polynôme à coecients entiers
On note Z [X ] l'ensemble des polynômes de Q [X] à coecients entiers. Étant donné un polynôme P = a 0 + ... + a n X n ∈ Z [X ] non nul, on pose :
c(P ) = pgcd(a 0 , ..., a n ).
On dit que c(P ) est le contenu de P .
1. a. Montrer que pour tout P ∈ Z [X] non nul et tout k ∈ N ∗ , c(kP ) = kc(P ) . b. Montrer que pour tout P ∈ Z [X] non nul :
1
c(P ) P ∈ Z [X]
Dans la suite de cette partie, A et B désignent deux polynômes de Z [X] de degrés respectifs n et m :
A =
n
X
k=0
a k X k B =
m
X
k=0
b k X k notons AB =
n+m
X
k=0
c k X k
2. Pour tout k ∈ J 0, n + m K, rappeler l'expression de c k en fonction des a i , b j .
3. On suppose dans cette question que c(A) = c(B) = 1 et que c(AB) admet un diviseur premier p .
a. Justier que l'on puisse dénir des entiers k 0 dans J 0, n K et l 0 dans J 0, m K par les égalités :
k 0 = min {k ∈ J 0, n K tq p 6 | a k } l 0 = min {l ∈ J 0, m K tq p 6 | b l } b. En exprimant c k
0+l
0, montrer que p divise a k
0b l
0.
c. Montrer que c(AB) = 1 . 4. Montrer que c(AB) = c(A)c(B) .
5. Soit P ∈ Z [X ] qui n'est pas irréductible dans Q [X] , c'est à dire qu'il existe deux polynômes Q, R ∈ Q [X] de degrés supérieurs ou égaux à 1 tels que P = QR .
a. Montrer qu'il existe deux entiers naturels q, r tels que qQ ∈ Z [X] et rR ∈ Z [X] . b. Montrer que qr divise c(qrQR) .
c. En déduire qu'il existe deux polynômes S et T dans Z [X ] de degré supérieur ou égal à 1 et tels que P = ST .
Partie 2 : Critère d'Eisenstein
Soit n ∈ N ∗ et p un entier premier. On considère un polynôme A de degré n : A =
n
X
k=0
a k X k ∈ Z [X ]
et on suppose que les conditions suivantes sont vériées :
p divise a 0 , ..., a n−1 . p ne divise pas a n . p 2 ne divise pas a 0 . 1. Supposons qu'il existe deux polynômes B, C ∈ Z [X ] tels que :
deg(B) = r ≥ 1, B =
r
X
k=0
b k X k , deg(B ) = s ≥ 1, C =
s
X
k=0
c k X k et A = BC.
a. Montrer que p divise un et un seul des deux entiers b 0 et c 0 . On supposera par la suite que p divise b 0 et ne divise pas c 0 . b. Montrer que pour tout k ∈ J 0, r K, p divise b k .
c. En déduire que p divise a n . Qu'en conclure ? 2. Montrer que A est irréductible dans Q [X] .
Partie 3 : Exemples
1. Montrer que pour tout n ≥ 2 , X n − 2 est irréductible dans Q [X ] . 2. Soit p un entier premier. Posons Φ p = 1 + X + ... + X p−1 .
a. Montrer que (X − 1)Φ p = X p − 1 . b. Posons Ψ p = Φ c p (X + 1) . Montrer que :
Ψ p =
p−1
X
k=0
p k + 1
X k .
c. En déduire que Ψ p est irréductible dans Q [X ] . d. Montrer que Φ p est irréductible dans Q [X ] .
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