L'objet de ce problème est le calcul de la somme des inverses des carrés par la méthode des coecients de Fourier.

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MPSI B 20010-2011 DM 11 29 juin 2019

1 Problème 1

L'objet de ce problème est le calcul de la somme des inverses des carrés par la méthode des coecients de Fourier.

1. a. Calculer

Z

1 0

t cos(kπt) dt

Z

1 0

t

²

cos(kπt) dt

b. En déduire qu'il existe un unique couple (a, b) de réels à préciser tel que,

∀k ∈ N

^∗

, Z

1

0

(at

²

+ bt) cos(kπt)dt = 1 k

²

c. Transformer, pour le couple (a, b) de la question précédente

Z

1 0

(at

²

+ bt) 1 2 +

n

X

k=1

cos(kπt)

! dt

2. Pour tout n ∈ N

^∗

et tout θ ∈]0, π[ , exprimer 1 + 2

n

X

k=1

cos(2kθ) comme un quotient de deux sinus.

3. Soit f une fonction réelle de classe C

¹

sur [0, 1] . Montrer que la fonction λ →

Z

1 0

f (t) sin(λt)dt converge vers 0 en +∞ .

4. On considère la fonction réelle dénie dans [0, 1] par :

f (t) =



 

 

π

²

(t

²

− 2t)

4 sin(

^π₂

t) si t 6= 0

− π si t = 0

a. Montrer que f est de classe C

¹

sur [0, 1] . b. Montrer la convergence de la suite

(

n

X

k=1

1 k

²

)

n∈N^∗

ainsi que la valeur de la limite.

2 Exercice

Cet exercice repose sur l'utilisation de la décomposition en éléments simples.

Montrer la convergence et calculer la limite de la suite

n

X

k=3

4k − 3 k(k − 2)(k + 2)

!

n∈N

3 Problème (facultatif et non corrigé)

Notations

Les notations suivantes sont valables dans tout le problème.

Lorsque x est un nombre réel, on désigne par bxc la partie entière de x et par {x} sa partie fractionnaire de sorte que bxc ∈ Z, {x} ∈ [0, 1[ et

x = bxc + {x}

On désigne par α et β deux entiers naturels premiers entre eux xés. On suppose β < α . On note

a = e

^2iπ^α

, b = e

^2iπ^β

Soit n un entier naturel, on désigne par (E

_n

) l'équation

(E

n

) : xα + βy = n aux inconnues x et y dans Z.

On note s

n

le nombre de couples solutions de (E

n

) dans N × N.

On dénit le polynôme Q :

Q = (1 − X

^α

)(1 − X

^β

)X

ⁿ⁺¹

Pour P ∈ C [X] et z ∈ C quelconques, on désigne par P(z) e le complexe obtenu en substituant z à X dans l'expression formelle de P .

Le problème porte

¹

sur diverses manières d'évaluer s

_n

.

1d'après Computing continuous discretely Springer

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1011E

(2)

MPSI B 20010-2011 DM 11 29 juin 2019

Partie I.

1. Montrer que U

α

∩ U

β

= {1} .

2. Soit x un réel strictement positif non entier et k un entier naturel, exprimer {k − x}

en fonction de {x} .

3. Préciser l'ensemble des racines de Q et la multiplicité pour chacune.

4. a. Soit A ∈ C [X] un polynôme non nul et z ∈ C une racine simple de A . Montrer que la partie polaire relative au pôle z dans la décomposition en éléments simples de

_A¹

est

1 f A

⁰

(z)(X − z)

b. Soit λ , µ deux nombres complexes (λ 6= 0 ) et R ∈ C [X] . Déterminer la partie polaire relative au pôle 1 de la décomposition en éléments simples de

1 (X − 1)

²

(λ + µ(X − 1) + (X − 1)

²

R)

Partie II. Théorème de Popoviciu

1. Montrer qu'il existe un unique élément de {1, . . . , β −1} noté α

⁻¹

et un unique élément de {1, . . . , α − 1} noté β

⁻¹

tels que :

αα

⁻¹

≡ 1 mod β, ββ

⁻¹

≡ 1 mod α 2. On note β

⁰

= α − β

⁻¹

.

a. Montrer que α

⁻¹

α −β

⁰

β = 1 . On pourra commencer par montrer que α

⁻¹

α −β

⁰

β est congru à 1 modulo αβ .

b. Montrer que l'ensemble des couples solutions de (E

n

) est (α

⁻¹

n − kβ, −β

⁰

n + kα), k ∈ Z

3. On suppose que

^α⁻¹_βⁿ

et

^β_α⁰ⁿ

ne sont pas entiers et vérient

^β_α⁰ⁿ

<

^α⁻¹_βⁿ

. a. Montrer que

s

_n

= b α

⁻¹

n

β c − b β

⁰

n α c b. En déduire le théorème de Popoviciu :

s

_n

= n αβ −

α

⁻¹

n β

− β

⁻¹

n

α

+ 1

4. Cas particulier. Calculer s

100

dans le cas où α = 12 et β = 7 et préciser l'ensemble des solutions dans N × N.

Partie III. Décomposition en éléments simples

1. Justier l'existence de nombres complexes

c

0

, c

1

, · · · , c

n

, u, v, A

1

, A

2

, · · · , A

_α−1

, B

1

, B

2

, · · · , B

_β−1

tels que :

1 Q = c

₀

X

ⁿ⁺¹

+ c

₁

X

ⁿ

+ · · · + c

_n

X + u

(X − 1)

²

+ v X − 1

+

α−1

X

k=1

A

_k

X − a

^k

+

β−1

X

k=1

B

_k

X − b

^k

2. a. Montrer que

A

_k

= 1

αa

^nk

(a

^βk

− 1) et calculer B

k

.

b. Calculer Re A

k

et Im A

k

.

3. On note S le polynôme tel que Q = (X − 1)

²

S . a. Calculer S(1) e et S e

⁰

(1) .

b. Montrer que

v = − 2n + α + β 2αβ 4. Montrer que :

c

n

= 2n + α + β 2αβ + 1

α

α−1

X

k=1

1 a

^nk

(1 − a

^βk

) + 1 β

β−1

X

k=1

1 b

^nk

(1 − b

^αk

)

Partie IV. Développement suivant les puissances croissantes

1. Montrer qu'il existe un unique couple (A, B) de polynômes tels que : deg A ≤ n et 1 = (1 − X

^α

)(1 − X

^β

)A + X

ⁿ⁺¹

B

2

(3)

MPSI B 20010-2011 DM 11 29 juin 2019

2. Soit n ∈ N, on dénit une application T

n

(appelée troncature à l'ordre n ) de C [X ] dans C

n

[X ] par :

T

_n

+∞

X

k=0

λ

_k

X

^k

!

=

n

X

k=0

λ

_k

X

^k

Soit m ∈ N tel que mα ≥ n et mβ ≥ n . Montrer que : c

0

+ c

1

X + · · · + c

n

X

ⁿ

= T

n

(1 + X

^α

+ X

^2α

+ · · · + X

^mα

)(1 + X

^β

+ X

^2β

+ · · · + X

^mβ

) En déduire c

n

= s

n

.

3. Montrer que les sommes suivantes 7

11

X

k=1

sin k

^207π₁₂

sin k

^7π₁₂

+ 12

6

X

k=1

sin k

^212π₇

sin k

^12π₇

et 7

11

X

k=1

cos k

^207π₁₂

sin k

^7π₁₂

+ 12

6

X

k=1

cos k

^212π₇

sin k

^12π₇