N°141 – mars 2020 LE PETIT VERT PAGE
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SOMME DES CARRÉS
1Walter Nurdin
Il est habituel de démontrer la formule qui permet de calculer la somme des carrés des 𝑛 premiers entiers par récurrence. On vous présente ici une méthode moins courante qui utilise le centre d'inertie d'un système.
Le triangle du système est équilatéral. Les boules ont la même masse unité. Pour des raisons de symétrie le centre de gravité du triangle est le même que le centre d'inertie du système formé par les boules.
Il y a 1 boule dont l'ordonnée est 1, 2 boules dont l'ordonnée est 2, …,
𝑛
boules dont l'ordonnée est𝑛
.Notons
𝑦̅
l'ordonnée du centre d'inertie du système. Le centre de gravité est situé au 2 3des médianes auquel il faut ajouter 1 puisque le sommet du triangle a pour ordonnée 1 donc :𝑦̅ = 2
3 (𝑛 − 1) + 1
De plus toutes les forces sont en équilibre lorsqu'on concentre la masse sur le centre de gravité.
Ainsi on a :
∑ 𝑚
𝑖(𝑦
𝑖𝑖=𝑛
𝑖=1
− 𝑦̅) = 0
Les
𝑚
𝑖 étant les masses des boules concentrées au point d'ordonnée𝑦
𝑖ainsi𝑚
4= 4
. En développant cette somme on obtient :1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 3 + ⋯ 𝑛 × 𝑛 − 𝑦̅ ∑ 𝑚
𝑖= 0
𝑖=𝑛
𝑖=1
∑ 𝑖
2= ( 2
3 (𝑛 − 1) + 1) 𝑛 𝑛 + 1 2
𝑖=𝑛
𝑖=1
∑ 𝑖
2= 𝑛(𝑛 + 1) 2𝑛 + 1 6
𝑖=𝑛
𝑖=1
1 Inspiré du livre « Surprenantes images des mathématiques » de Georg Glaeser et Konrad Polthier. Belin:Pour la science.
