Q₂ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}.{y

A2831 – Les fractionnaires sont de la partie [** à la main]

Par convention la partie fractionnaire d’un nombre réel x,notée {x}, est la différence entre ce nombre et sa partie entière par défaut. C’est un réel positif ou nul strictement inférieur à 1.

Problème n°1

x est un nombre réel positif tel que {x²} = {1/x} et 5793 < x²⁵ < 920482.

Déterminer la valeur de

x x²⁰6765

Problème n°2

Q₁ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x.y] = {x + y} ? Q₂ Existe-t-il deux nombres x et y qui ne sont pas entiers tels que {x}.{y] = {x + y} ?

Solution proposée par Daniel Collignon

Problème 1

L'inégalité se simplifie en 2<x^{^2}<3, d'où x^{^2} = 2+1/x, ou encore x^{^3}-2x-1 = 0 D'où (x+1)(x^{^2}-x-1) = 0.

La seule racine à retenir est x = (1+racine(5))/2 = phi (nombre d'or) Elle vérifie 1/x = x-1.

Par récurrence, on montre que x^n = f_n * x + f_{n-1} où f_n est la suite de Fibonacci.

Comme f_20 = 6765, alors x^{^20} - 6765/x = f_19 + f_20 = f_21 = 10946.

Problème 2 Q1 : oui

Par exemple x=phi et y=phi^{^2} conviennent Q2 : non

La propriété {x+k} = {x} pour k entier permet de se ramener au cas 0<x,y<1.

0<x+y<1 : xy = x+y => (1-x)(1-y) = 1, mais si x=1-u avec 0<u<1, alors et y=1-1/u<0 impossible x+y=1 : xy = 1 impossible

1<x+y<2 : xy = x+y-1 => (x-1)(y-1) = 0 => x=1 ou y=1 impossible