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D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php
Terminale S : Chapitre III – Continuité – Dérivabilité TD : Fonction Partie entière
TD
La fonction «
PARTIE ENTIERE»
Définition
On admet que ∀x∈IR, ∃! n∈ Z tel que n ≤≤≤≤ x < n+1 : n est appelé la « partie entière » de x et on Z note E(x) = n.
Autrement dit, pour tout x, il existe un unique entier n, tel que x soit encadré par deux entiers consécutifs : n et n + 1.
Ainsi, n est la partie entière de x si et seulement si (ssi) n∈∈∈∈ Z et n Z ≤≤≤≤ x < n+1.
Préliminaires :
Calculer E(1.2) ; E(3) ; E(13
14) ; E(-2.3).
Remarque.
Soit x un nombre positif représenté dans son écriture décimale : x=a a a0, 1 2... ...an a0 est la partie entière de x, a1a2...an... est la partie décimale de x.
A. Quelques Propriétés de la fonction E
1. Quels sont les réels x tels que : E(x) = 0 ? E(x) = 1 ? E(x) = -2 ? E(x) = k, où k est un relatif ? 2. A-t-on pour tout réels x, y l’égalité E(x+y) = E(x) + E(y) ?
3. Démontrer que la fonction partie entière est 1-périodique.
4. Construire la courbe représentative de E pour x dans [−3 ;4[
5. Démontrer que : ∀ x∈IR, ∀ p∈ Z, E(x+p) = E(x) + p. Z 6. Démontrer que la fonciton E est croissante sur IR.
7. Résoudre l’équation E(x) = x.
B. Questions de Continuité
1. Graphiquement, la fonction semble-t-elle continue sur IR ?
2. Démontrer que E est continue sur tout intervalle de la forme [n ;n+1[ où n est un relatif.
3. Démontrer que E est discontinue sur ℤ.
4. Déterminer le domaine de continuité de la fonction E.
C. Partie décimale d est la fonction définie sur IR, par d(x) = x − E(x)
1. Calculer les images par d de 5,2 ; 3/2 ; 8 ; −6,3
2. Donner au moins 5 réels différents et pas tous de même signe tels que d(x) = 0,3.
3. Démontrer que pour tout réel x, 0 ≤ d(x) < 1 4. Démontrer que d est périodique.
5. Construire la représentation graphique de d pour x ∈ [0 ;1[ puis pour x ∈ [−2 ; 3[
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BREF Corrigé
Préliminaires :
A l’aide de la définition, on montre que E(1.2) = 1 ; E(3) = 3 ; E(13
14) = 0 ; E(-2.3) = -3.
Par exemple, comme 1 1.2≤ <2 et que 1 est un relatif, d’après la définition, 1 est la partie entière de 1.2.
A. Quelques Propriétés de la fonction E
1. Quels sont les réels x tels que : E(x) = 0 ? E(x) = 1 ? E(x) = -2 ? E(x) = k, où k est un relatif ? Par définition, E(x) = 0 ⇔ 0 ≤ x < 1 ⇔ x ∈[0 ;1[.
Par définition, E(x) = 1 ⇔ 1 ≤ x < 2 ⇔ x ∈[1 ;2[.
Par définition, E(x) = -2 ⇔ -2 ≤ x < -1 ⇔ x ∈[-2 ;-1[.
Par définition, E(x) = k ⇔ k ≤ x < k+1 ⇔ x ∈[k ;k+1[ : la fontion E est donc constante sur tout intervalle de la forme [k ;k+1[ où k est un relatif.
2. A-t-on pour tout réels x, y l’égalité E(x+y) = E(x) + E(y) ? Non, par exemple E(3) = 3 mais E(1.5) + E(1.5) = 2.
3. Démontrer que la fonction partie entière est 1-périodique.
∀ x∈IR, E(x) ≤ x < E(x)+1 donc E(x)+1 ≤ x+1 < (E(x)+1)+1, avec E(x)+1 qui est un relatif.
Par définition, on a donc E(x+1) = E(x)+1.
4. Construire la courbe représentative de E pour x dans [−3 ;4[.
5. Démontrer que : ∀ x∈IR, ∀ p∈ Z, E(x+p) = E(x) + p Z
∀ x∈IR, E(x) ≤ x < E(x)+1 donc E(x)+p ≤ x+p < (E(x)+p)+1, avec E(x)+p qui est un relatif.
Par définition, on a donc E(x+p) = E(x)+p.
6. Prouvons que E est croissante.
Par périodicité, on travaille sur I = [0 ;1].
Soit 0 ≤ a < b ≤ 1 deux réels.
On a E(a) =0 et ( E(b) = 0 ou E(b) = 1 ).
Dans les deux cas, E(a) ≤ E(b).
7. Résoudre l’équation E(x) = x.
> Si x = E(x), comme E(x) est un relatif alors x∈ℤ.
> Réciproquement, si x∈ℤ on a x ≤ x < x+1 où x∈ℤ donc par définition, E(x) = x.
Ainsi, E(x) = x ⇔ x∈ℤ.
B. Questions de Continuité
1. Graphiquement, la fonction semble-t-elle continue sur IR ?
Non, la courbe n’est pas d’un seul tenant, la fonction ne semble pas continue sur IR.
2. Démontrer que E est continue sur tout intervalle de la forme [n ;n+1[ où n est un relatif.
Si x ∈[n ;n+1[ où n est un relatif alors E(x) = n (voir A.1) et une fonction constante est continue.
Fonction Partie Entière
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3. Démontrer que E est discontinue sur ℤ. Soit n un entier relatif :
> E est définie en n et on a E(n) = n.
> en n- : si x tend vers n en restant inférieur alors x ∈[n-1 : n[ donc E(x) = n-1 et on obtient
lim ( ) 1
x n
E x n
→− = − .
> en n+ : si x tend vers n en restant supérieur alors x ∈[n : n+1[ donc E(x) = n et on obtient lim ( )
x n
E x n
→− = .
Limites à gauche et à droite sont différentes donc E est discontinue en n.
4. Déterminer le domaine de continuité de la fonction E.
Il s’agit donc de IR privé de ℤ que l’on note ℝ ℤ\ ou ℝ ℤ− . C. Partie décimale d est la fonction définie sur IR, par d(x) = x − E(x)
1. d(5,2) = 5,2−5 = 0,2 d(3/2) = 1,5−1=0,5 d(8)= 8−8 = 0 d(−6,3)=−6,3−(−7) = 0,7 2. d(x) = 0,3 pour 0,3 ; 2,3 ; −1,7 ; −123,7 ; etc …
3. Par définition : ∀ x ∈ IR, E(x) ≤ x < E(x)+1 donc en soustrayant E(x) à chaque membre E(x)−E(x) ≤ x−E(x) < E(x)+1−E(x) c’est à dire 0 ≤ d(x) < 1.
4. On a vu que pour p entier, E(x+p) = E(x)+p donc d(x+p) = x+p − E(x)−p = x−E(x) = d(x) donc d est périodique de période 1 (on applique l’égalité précédente à p=1)
5. Pour x ∈ [0 ;1[, d(x) = x−0 = x. d étant périodique de période 1, par translations de vecteurs k i→ on obtient la courbe sur tout intervalle [k ;k+1[ et donc sur [−2 ; 3[
Fonction x-E(x)
