MPSI B Année 2019-2020. DS 4 le 13/12/19 15 décembre 2019
Exercice 1.
Cet exercice porte sur des propositions liant racine carrée et partie entière. La dernière question est indépendante des premières.
On note I = [0, +∞[ et E la restriction de la fonction partie entière dans cet intervalle :
∀x ≥ 0, E(x) = bxc.
1. On considère l'équation fonctionelle
F : E ◦ g = E
où la fonction inconnue g est dénie dans I et à valeurs dans I . a. Préciser deux solutions évidentes de l'équation F .
b. Soit g dénie dans I et à valeurs dans I .
Montrer que g est solution de F si et seulement si
∀n ∈ N , g ([n, n + 1[) ⊂ [n, n + 1[ .
2. Soit f une bijection de I dans I . On cherche une solution de F de la forme f ◦ E ◦ f −1 . a. Pour tout n ∈ N, montrer que
f ◦ E ◦ f −1 (n) = n ⇔ f −1 (n) ∈ N .
b. On suppose de plus que f est croissante. Montrer qu'elle est strictement croissante et continue. Montrer que f ◦ E ◦ f −1 est solution de F si et seulement si
∀n ∈ N , f −1 (n) ∈ N . 3. Montrer que b p
bxcc = b √
xc pour tout x ≥ 0 .
4. On dit qu'une suite (u n ) n∈ N à valeurs dans [0, 1] est bien répartie si et seulement si, pour tout (a, b) ∈ [0, 1] 2 avec a < b ,
1
n Card {k ∈ J 0, n K tq a < u k < b}
n∈ N
∗→ b − a.
a. Soit x < y réels. Montrer
]x, y[ ∩ Z = J bxc + 1, dye − 1 K , y − x − 1 ≤ Card (]x, y[ ∩ Z ) < y − x + 1.
b. Soit 0 ≤ a < b ≤ 1 et m ∈ N.
Quels sont les k ∈ N tels que b √
kc = m et a < √ k − b √
kc < b ? c. Montrer que la suite ( √
n − b √
nc) n∈N est bien répartie.
Exercice 2.
On dénit une fonction H dans ]0, 1[ .
∀λ ∈ ]0, 1[ : H (λ) = − (λ ln(λ) + (1 − λ) ln(1 − λ)) . On se propose de montrer une majoration des coecients du binôme :
∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀k ∈ J 1, n − 1 K : n
k
≤ e nH(
k n ) .
1. Montrer que :
∀x > 0 : ln(1 + x) − ln(x) ≥ 1 1 + x .
2. Montrer que la fonction dénie de ]0, 1[ dans R par : x → x+1 x x est croissante.
3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et k un entier naturel entre 0 et n . Montrer que
n k
≤ n n k k (n − k) n−k . 4. En déduire l'inégalité annoncée.
Problème
L'objet de ce problème est l'étude des suites dénies par une valeur initiale x 0 et
∀n ∈ N , x n+1 = f µ (x n ) où f µ (appelée fonction logistique) est dénie par :
∀x ∈ R , f µ (x) = µx(1 − x).
Le paramètre µ est strictement positif, on pose aussi c µ = µ−1 µ . On dira qu'un intervalle I de R est stable lorsque :
x ∈ I ⇒ f µ (x) ∈ I.
On demande plusieurs fois d'étudier (x n ) n∈ N en discutant suivant x 0 . Il s'agit de former une liste d'intervalles et de décrire le comportement de la suite lorsque x 0 est dans chacun des intervalles listés. On devra justier ces descriptions.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1904EMPSI B Année 2019-2020. DS 4 le 13/12/19 15 décembre 2019
Partie I
1. Quels sont les points xes de f µ ?
2. Former le tableau de variation de f µ , préciser le maximum absolu et la valeur de la fonction en ce point.
3. Calculer f µ 0 (0) et f µ 0 (c µ ) . Comparer suivant la valeur de µ ces valeurs avec −1 et +1 . Que peut-on en déduire ?
4. Pour quelles valeurs de µ l'intervalle [0, 1] est-il stable ?
5. Les quatre gures ??, ??, ??, ?? présentent les graphes de f µ pour quatre valeurs de µ parmi 0.7 , 1.7 , 2.7 , 4.7 . Indiquer sur la feuille au dessous de chaque dessin le µ correspondant et placer le c µ sur l'axe des abscisses.
Partie II
Dans cette partie, lorsque µ > 2 , on notera S µ = [ 1 2 , µ 4 ] et K µ = max S
µ|f µ 0 | . 1. a. Calculer f µ ( µ 4 ) − 1 2 pour µ = 2 puis factoriser cette expression.
b. Factoriser f µ 0 ( µ 4 ) + 1 .
2. Cas µ ∈ ]0, 1[ . Étudier (x n ) n∈ N en discutant suivant x 0 . 3. Cas µ ∈ ]1, 2[ . Étudier (x n ) n∈N en discutant suivant x 0 . 4. Montrer que µ ∈
2, 1 + √ 5
entraîne S µ stable.
5. On suppose ici que µ ∈
2, 1 + √ 3
a. Montrer que S µ est stable et que K µ < 1 . b. Montrer que x 0 ∈ S µ entraîne
∀n ∈ N , |x n − c µ | ≤ K µ n |x 0 − c µ |.
c. Montrer que si x 0 ∈ 0, 1 2
, il existe k entier tel que x k ∈ S µ . Que peut-on en déduire ?
Partie III. Vers un ensemble de Cantor
On se place cette fois dans le cas µ > 2 + √
5 . Pour tout entier n , f µ n désigne la composée de f µ par elle même n fois. Voir gure ?? par exemple. On note aussi :
Λ n = {x ∈ R , f µ n (x) ∈ [0, 1]} Λ = \
n∈N
Λ n
( f µ 0 désigne l'identité de R.)
1 1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
0.2 0.4 0.6 0.8
Fig. 1: µ = 4.73 : f µ ◦ f µ ◦ f µ
1. Préciser les u ∈ [0, 1] tel que f µ (u) = 1 . En déduire Λ 1 .
2. L'intervalle [0, 1] est-il stable ? Pour quels x 0 la suite (x n ) n∈ N prend-elle toutes ses valeurs dans [0, 1] .
3. Montrer que si f µ (u) = 1 alors |f µ 0 (u)| > 1 . 4. Soit λ = inf Λ
1|f µ 0 | . Montrer que λ > 1 .
5. Montrer que Λ n+1 ⊂ Λ n . Montrer que Λ n est formé par 2 n intervalles disjoints.
6. a. Montrer que pour tout x ∈ Λ n :
|(f µ n ) 0 (x)| ≥ λ n .
b. Montrer que la longueur de chaque intervalle formant Λ n est inférieure à 1 λ n+1 .
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0
-0.5 0.5
-0.5
1 1.5 0.5
1 1.5
Fig. 2: Partie I. 5
1.5
1
0.5
-0.5
0
0.5
-0.5
1 1.5
Fig. 3: Partie I. 5
1.5
1
0.5
0 -0.5
-0.5
0.5 1 1.5
Fig. 4: Partie I. 5
0 1.5
1
0.5
-0.5 0.5 1 1.5
-0.5
Fig. 5: Partie I. 5
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