Le paramètre µ est strictement positif, on pose aussi c µ = µ−1 µ . On dira qu'un intervalle I de R est stable lorsque :

MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 8 5 janvier 2020

L'objet de ce problème est l'étude des suites dénies par une valeur initiale x 0 et

∀n ∈ N , x n+1 = f µ (x n ) où f _µ (appelée fonction logistique) est dénie par :

∀x ∈ R , f _µ (x) = µx(1 − x).

Le paramètre µ est strictement positif, on pose aussi c _µ = ^µ−1 _µ . On dira qu'un intervalle I de R est stable lorsque :

x ∈ I ⇒ f µ (x) ∈ I.

On demande plusieurs fois d'étudier (x n ) _n∈N en discutant suivant x 0 . Il s'agit de former une liste d'intervalles et de décrire le comportement de la suite lorsque x 0 est dans chacun des intervalles listés. On devra justier ces descriptions.

Partie I

1. Quels sont les points xes de f _µ ?

2. Former le tableau de variation de f _µ , préciser le maximum absolu et la valeur de la fonction en ce point.

3. Calculer f _µ ⁰ (0) et f _µ ⁰ (c _µ ) . Comparer suivant la valeur de µ ces valeurs avec −1 et +1 . Que peut-on en déduire ?

4. Pour quelles valeurs de µ l'intervalle [0, 1] est-il stable ?

5. Les quatre gures 2, 3, 4, 5 présentent les graphes de f µ pour quatre valeurs de µ parmi 0.7 , 1.7 , 2.7 , 4.7 . Indiquer sur la feuille au dessous de chaque dessin le µ correspondant et placer le c _µ sur l'axe des abscisses.

Partie II

Dans cette partie, lorsque µ > 2 , on notera S µ = [ ¹ ₂ , ^µ ₄ ] et K µ = max S

|f _µ ⁰ | . 1. a. En calculant d'abors la valeur pour µ = 2 , factoriser f µ ( ^µ ₄ ) − ¹ ₂ .

b. Factoriser f _µ ⁰ ( ^µ ₄ ) + 1 .

2. Cas µ ∈ ]0, 1[ . Étudier (x _n ) _{n∈ N} en discutant suivant x ₀ . 3. Cas µ ∈ ]1, 2[ . Étudier (x _n ) _{n∈ N} en discutant suivant x ₀ . 4. Montrer que µ ∈

2, 1 + √ 5

entraîne S _µ stable.

5. On suppose ici que µ ∈

2, 1 + √ 3

.

a. Montrer que S _µ est stable et que K _µ < 1 . b. Montrer que x 0 ∈ S µ entraîne

∀n ∈ N , |x n − c µ | ≤ K _µ ⁿ |x 0 − c µ |.

c. Montrer que si x 0 ∈ 0, ¹ ₂

, il existe k ∈ N tel que x k ∈ S µ . Que peut-on en déduire ?

Partie III. Vers un ensemble de Cantor

1 1

0

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

0.2 0.4 0.6 0.8

Fig. 1: µ = 4.73 : f µ ◦ f µ ◦ f µ

On se place cette fois dans le cas µ > 2 + √

5 . Pour tout entier n , f _µ ⁿ désigne la composée de f µ par elle même n fois. Voir gure 1 par exemple. On note aussi :

Λ n = {x ∈ R , f _µ ⁿ (x) ∈ [0, 1]} Λ = \

n∈ N

Λ n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 8 5 janvier 2020

( f _µ ⁰ désigne l'identité de R.)

1. Préciser les u ∈ [0, 1] tel que f µ (u) = 1 . En déduire Λ 1 .

2. L'intervalle [0, 1] est-il stable ? Pour quels x 0 la suite (x n ) _n∈N prend-elle toutes ses valeurs dans [0, 1] .

3. Montrer que si f µ (u) = 1 alors |f _µ ⁰ (u)| > 1 . 4. Soit λ = inf Λ

|f _µ ⁰ | . Montrer que λ > 1 .

5. Montrer que Λ n+1 ⊂ Λ n . Montrer que Λ n est formé par 2 ⁿ intervalles disjoints.

6. a. Montrer que pour tout x ∈ Λ n :

|(f _µ ⁿ ) ⁰ (x)| ≥ λ ⁿ .

b. Montrer que la longueur de chaque intervalle formant Λ _n est inférieure à 1 λ ⁿ⁺¹ .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 8 5 janvier 2020

0

-0.5 0.5

-0.5

1 1.5 0.5

1 1.5

Fig. 2: Partie I. 5

1.5

1

0.5

-0.5

0

0.5

-0.5

1 1.5

Fig. 3: Partie I. 5

1.5

1

0.5

0 -0.5

-0.5

0.5 1 1.5

Fig. 4: Partie I. 5

0 1.5

1

0.5

-0.5 0.5 1 1.5

-0.5

Fig. 5: Partie I. 5

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

3