Première STG Exercices sur le chapitre 11 : E1. 2007 2008
E1 Savoir démontrer qu'une fonction est croissante.
N ° 1 Soit f la fonction définie par f ( x ) = 2x + 3.
a.
x -2 2
y -1 7
b. Soient x1 et x2 deux réels tels que x1 < x2.
f ( x1 ) − f ( x2 ) = 2x1 + 3 − ( 2x2 + 3 ) = 2x1 + 3 − 2x2 − 3 = 2 ( x1 − x2 ).
Or x1 < x2 donc x1− x2 < 0 donc 2 ( x1− x2 ) < 0 donc f ( x1 ) − f ( x2 ) < 0 donc f ( x1 ) < f ( x2 ) Donc f est une fonction strictement croissante sur .
Autre méthode : soient a et b deux réels tels que a < b alors 2a < 2b donc 2a + 3 < 2b + 3 donc f ( a ) < f ( b ).
N ° 2 Soit g la fonction définie par g ( x ) = x².
La courbe de g sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ est donnée par :
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ tels que x1 < x2. g ( x1 ) − g ( x2 ) = x²1− x²2 = ( x1− x2 ) ( x1 + x 2 )
Or x1 < x2 donc x1 − x2 < 0 donc ( x1 − x2 ) < 0 et x1 et x2 deux réels de l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ donc x1 + x 2 > 0 Donc g ( x1 ) − g ( x2 ) < 0 donc g ( x1 ) < g ( x2 ). Donc g est une fonction strictement croissante sur [ 0 ; + ∞ [.
Autre méthode :
soient a et b deux réels positifs tels que a < b alors a² < ba et aussi ab < b² donc a² < ab < b² d'où a² < b² donc g ( a ) < g ( b )…