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On montre par r´ecurrence que f(x1, x2

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Academic year: 2022

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PB E618 : On peut remplacer les boules par 0,1 et 2 et consid´erer l’applicationf(x, y) =−x−ymodulo 3 qui v´erifie bienf(x, x) =xetf(x, y) =zsi (x, y, z) est une permutation de (0,1,2). On montre par r´ecurrence que f(x1, x2, ..., xn) = (−1)n−1

n

X

k=1

n−1 k−1

xk. Pour n= 16 on obtient −x1+x4−x7−x10+x13−x16. Dans l’exemple propos´e, si 0=bleu, 1=vert et 2=rouge , 2-1-2+1=0 : la derni`ere boule est bleue.

Remarque 1: pourn= 4, f(x1, x2, x3, x4) =−x1−x4 =f(x1, x4). on en d´eduit que sin= 1 + 3m : f(x1, x2, ..., xn) =f(x1, x4, ..., x3k+1, ..., xn) .

Remarque 2: on peut montrer que si n−1 s’´ecrit ap...a0 et si k−1 s’´ecrit bp...b0 en base 3 alors

n−1 k−1

modulo 3 vaut 0 s’il existe i tel que bi > ai et (−1)m sinon, m d´esignant le nombre de i tels que (ai, bi) = (2,1).

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