Exercice avec préparation 1
1. Question de cours : Condition nécessaire et suffisante pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable.
Soit nun entier supérieur ou égal à 2. On noteB la base canonique de Rn. Soit v un vecteur deRn de coordonnéesv1, v2, . . . , vn dans la baseB telles que Pn
i=1
vi= 2.
On considère l’application f définie sur Rn qui, à toutx= (x1, x2, . . . , xn)2Rn, associe f(x) =x
✓Pn
i=1
xi
◆
·v.
2. a) Montrer quef est un endomorphisme de Rn. b) Déterminerf f. L’endomorphisme f et-il bijectif ? c) Quelles sont les valeurs propres possibles def? 3. a) Déterminer les valeurs propres def.
b) Quels sont les sous-espaces propres def? L’endomorphisme f est-il diagonalisable ? 4. a) Écrire la matriceM def dans la baseB.
b) Montrer que les matricesV = 0 BB B@
v1 v1 · · · v1
v2 v2 · · · v2
... ... ...
vn vn · · · vn
1 CC
CAetD= 0 BB B@
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
... ... ...
0 0 · · · 2
1 CC
CA sont semblables.
Exercice sans préparation 1
Soit X une variable aléatoire admettant une densité f strictement positive sur R et possédant une espérance.
Pour tout ↵2]0,1[, on noteh↵ la fonction définie sur Rpar : h↵(t) =|t|+ (2↵ 1)t. Pour tout q2R, on pose :L(q) =E(h↵(X q)).
1. Établir l’existence d’un unique réel q↵ en lequel la fonction Lest minimale.
2. On suppose que ↵= 1
2 et queX suit la loiN (0,1). Calculer q1 2.
1
Dans cet exercice, toutes les variables sont définies sur un espace probabilisé (⌦,A, P). 1. Question de cours : Définition de la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires.
2. Soit X une variable aléatoire strictement positive suivant la loi exponentielle de paramètre 1. On pose : Z = ln(X)et on note FZ la fonction de répartition de Z.
a) Montrer que pour toutx2R, on a :FZ(x) =e e x.
b) Montrer queZ admet une densité de probabilité continuefZ qui atteint sa valeur maximale en un unique pointx0.
c) Tracer l’allure de la courbe représentative deFZ dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
d) Que représente le point d’abscissex0 et d’ordonnéeFZ(x0) pour cette courbe ?
3. On considère une suite de variables aléatoires(Xn)n>1 indépendantes et de même loi queX.
On pose pour tout n2N⇤ :Yn= max(X1, . . . , Xn)etZn=Yn ln(n).
a) Déterminer les fonctions de répartitionFYn etFZn deYn etZn respectivement.
b) Montrer que la suite de variables aléatoires(Zn)n>1 converge en loi vers la variable aléatoireZ. c) Établir pour tout réelc >0, l’inégalité :E(Yn)>cP(Yn>c).
d) En déduire lim
n!+1E(Yn). Exercice sans préparation 2 On considère la matrice A=
0
@1 1 0 0 1 1 0 0 1
1
Ade M3(R).
1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable ? Inversible ?
2. On note I la matrice identité deM3(R). Établir l’existence d’une matriceN telle queA=I+N. Déterminer pour tout k2N, la matriceAk.
3. On rappelle l’identité remarquable : a3+b3 = (a+b)(a2 ab+b2). DéterminerA 1.
1. Question de cours : Définition de la dimension d’un espace vectoriel.
Soitn2N⇤. On noteEnle sous-espace vectoriel deR[X]constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à n 1etFn le sous-espace vectoriel deR[X]engendré par X, X2, . . . , Xn 1, Xn.
2. Montrer que les polynômes P de R[X] vérifiant pour tout x 2 R, P(x + 1) = P(x), sont les polynômes constants.
3. Préciser les dimensions respectives de En etFn.
4. Pour tout P 2Fn, on note Qle polynôme tel que :8x2R,Q(x) =P(x+ 1) P(x). a) Vérifier queQ2En. QUelle relation existe-t-il entre les degrés deP et de Q?
b) Soit l’application de Fn sur En qui à tout P 2 Fn associe Q = (P), où 8x 2 R, Q(x) = P(x+ 1) P(x).
Montrer que l’application est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
c) Déterminer un polynôme P vérifiant (P) = X3. En déduire la valeur des sommes Pn
k=1
k3 et
nP1 k=0
(2k+ 1)3.
Exercice sans préparation 3
Après une alerte incendie, les60 élèves d’une école se répartissent au hasard dans 5salles de classe.
Afin de savoir comment se répartissent les élèves on exécute le programmeScilabsuivant :
1 Y = grand(100000, 1, 'bin', 60, 1/5)
2 hisplot(0.5:25,Y) qui donne la représentation ci-dessous :
Que représente la valeur maximale prise par cet histogramme ? Prouver un résultat concernant cette valeur.
3
1. Question de cours : Soit I un intervalle deR etf une fonction continue sur I. Propriétés de l’application x2I 7!
Z x
a
f(t) dt.
Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues surRà valeurs réelles.
Pour tout fonction f 2E, on note T(f) l’application définie sur Rà valeurs réelles, telle que : 8x2R, T(f)(x) =
Z x+1
x 1
f(t) dt.
2. Pour tout a2R, soitfa la fonction définie sur Rpar : fa(x) =eax. Déterminer T(fa).
3. a) Montrer que pour toute fonction f 2 E, l’application T(f) appartient à E et est de classe C1 surR.
Déterminer la fonction dérivée de la fonctionT(f).
b) On suppose quef est une fonction bornée deE. Montrer queT(f)est bornée et établir l’existence d’un réelK tel que pour tout(x, y)2R2, on a|T(f)(x) T(f)(y)|6K|x y|.
4. Soit T l’application de E dansE qui àf 2E, associe T(f). a) Montrer queT est un endomorphisme de E. Est-il surjectif ?
b) Soit n 2 N etRn[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àn.
Montrer queT(Rn[X])⇢Rn[X].
c) SoitTnla restriction àRn[X]de l’endomorphismeTetB= (1, X, X2, . . . , Xn)la base canonique deRn[X].
L’endomorphismeTnest-il diagonalisable ? Tn est-il bijectif ? Exercice sans préparation 4
Soit(Xn)n2N⇤une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un espace probabilisé(⌦,A, P), de même loi de Bernoulli de paramètre 1
2. On pose pour toutn2N⇤ :Wn= Pn k=1
kXk. 1. Calculer E(Wn) etV(Wn).
2. Les variables WnetWn+1 sont-elles indépendantes ?
1. Question de cours : Définition d’un isomorphisme d’espaces vectoriels.
Dans tout l’exercice, ndésigne un entier supérieur ou égal à 1. Sip2N, on note Rp[X]l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àp.
On note In la matrice identité deMn(R). On rappelle que siA2Mn(R) etP(X) = Pp k=0
akXk un polynôme de Rp[X], alors P(A) désigne la matrice a0In+a1A+· · ·+apAp.
2. Soit A etQ deux matrices deMn(R).
On suppose que la matrice Qest inversible, d’inverse notée Q 1.
Soit P un polynôme à coefficients réels. ExpliciterP(Q 1AQ) en fonction deP(A),QetQ 1. 3. a) Soit x1, x2, . . . , xn des réels deux à deux distincts et soit ' l’application de Rn 1[X] dans Rn
qui à tout polynôme P 2 Rn 1[X], associe le n-uplet (P(x1), P(x2), . . . , P(xn)). Montrer que l’application'est bijective.
b) Soit 1, 2, . . . , n nréels distincts non nuls et T = (ti,j)16i,j6n 2Mn(R) une matrice triangu- laire telle que pour touti2J1, nK,ti,i= i.
Établir l’existence d’un unique polynôme P 2 Rn 1[X] tel que pour tout i 2 J1,K, on a :
i⇥P( i) = 1.
Que vautT⇥P(T)? Conclure.
4. Déterminer un polynôme P 2R2[X]tel que8(a, b, c)2R3, l’inverse de la matriceA= 0
@1 a b 0 2 c 0 0 3
1 A
soit égale àP(A).
Exercice sans préparation 5
Soit X1, X2, . . . , Xn n variables aléatoires telles que pour tout k 2 J1, nK, Xk suit la loi de Bernoulli de paramètrepk avec 0< pk<1.
On pose : Y = Pn
k=1
Xk. Montrer que V(Y)6 n2 4 .
5
1. Question de cours : Formule des probabilités totales.
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère nurnes numérotées de 1 ànetN un entier naturel multiple de2n. Pour tout k 2 J1, nK, la k-ième urne contient N boules dont N
2k boules blanches, les autres étant noires.
On tire dans l’urne 1 une boule au l’on place dans l’urne 2, puis on tire dans l’urne 2 une boule que l’on place dans l’urne 3et ainsi de suite jusqu’à tirer dans l’urnen 1une boule que l’on place dans l’urne n, puis on tire une boule dans l’urne n.
L’expérience est modélisée par un espace probabilisé (⌦,A, P).
2. Pour tout k2J1, nK, soitpk la probabilité que la boule tirée dans l’urne ksoit blanche.
Trouver une relation de récurrence entre pk+1 etpk (16k6n 1).
3. a) Calculerpn en fonction denetN. b) Pournfixé, calculer lim
N!+1pn. Interpréter cette limite.
4. Soit i 2 J1, n 1K. Calculer la probabilité conditionnelle que la n-ième boule tirée soit blanche sachant que la boule tirée dans l’urne iest blanche.
Exercice sans préparation 6
Soit(un)n2N⇤ la suite définie par : 8n2N⇤,un= 1 n
Pn k=1
ln
✓k n
◆ . 1. Montrer que la suite (un)n2N⇤ est convergente et calculer sa limite.
2. Quelle est la nature de la suite (n!)1n?
1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité.
Dans cet exercice, les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé (⌦,A, P), à valeurs dans R+ et admettent une densité.
Soit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance E(X). On note respectivement F etf, la fonction de répartition et une densité de X.
Soit (Xn)n2N⇤ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que X. 2. Pour x>0 :
a) Justifier la convergence de l’intégrale Z +1
x
tf(t) dt. b) Établir les inégalités :Z +1
x
tf(t) dt>x(1 F(x))>0.
c) Montrer à l’aide d’une intégration par parties que :E(X) = Z +1
0
(1 F(t)) dt.
3. Pour tout n2 N⇤, on noteZn = max(X1, X2, . . . , Xn), Gn la fonction de répartition de Zn et gn une densité de Zn.
a) Exprimer pour toutt2R,Gn(t)en fonction de F(t). b) Établir l’existence deE(Zn).
c) Pourn>2, montrer que :E(Zn) E(Zn 1) = Z +1
0
(F(t))n 1(1 F(t))dt.
d) Soit m > 0. On suppose que X suit la loi exponentielle de paramètre m (d’espérance 1 m).
CalculerE(Zn).
Donner un équivalent deE(Zn)lorsque ntend vers +1.
Exercice sans préparation 7
Soitn un entier supérieur ou égal à 2etX une matrice colonne non nulle de Mn,1(R). On pose : A=XtX.
1. Montrer que A est diagonalisable.
2. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A.
7
1. Question de cours : Donner des critères de convergence des séries à termes positifs.
Soit f la fonction définie sur R⇤+ parf(x) = ln
✓e 2
✓ x+ 1
x
◆◆
.
On note (C) la courbe représentative def dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
2. Dresser le tableau de variation de f.
3. a) Montrer que la courbe( )d’équationy = ln⇣e 2x⌘
est asymptote à (C). b) Tracer(C) et( )dans le même repère.
4. Établir pour tout réel x>1, l’encadrement :06f0(x)<1.
En déduire que le signe de f(x) x pour tout x>1 ainsi que la position de (C) par rapport à la droite(D) d’équationy=x.
5. Soit le programme Scilabsuivant :
1 function y=f(x)
2 y = log(%e ? (x + x ^^^(-1))/2)
3 endfunction
4
5 x = [0.01:0.1:5] ;
6 plot2d(x, f(x), rect=[0,0,5,5])
7
8 x = [0,5]
9 plot2d(x,x)
10
11 u = input('u0=')
12 x = [u] ; y = [0]
13 for k=1:10
14 z = f(u)
15 x = [x,u]
16 x = [x,z]
17 y = [y,z,z]
18 u = z
19 end
20 plot2d(x,y)
Expliquer ce que fait ce programme et ce qu’il illustre.
Dans plot2d,rect[0,0,5,5] signifie que seule la partie de la courbe contenue dans le rectangle {(x, y) / 06x65et06y65} sera tracée.
6. Étudier la suite(un)n2N définie par :u02[1,+1[et8n2N,un+1=f(un). 7. a) Justifier l’existence d’un réela >1tel que x2[1, a])f0(x)6 1
2.
b) On pose :8n2N,vn=un 1. Quelle est la nature de la série de terme général vn? Exercice sans préparation 8
Soit (Xn)n2N⇤ une suite de variables aléatoires telles que pour tout n>1,Xn admet une densité fn continue surR, nulle sur R et sur[n2,+1[, affine sur[0,1n]et sur[n1,n2].
1. Déterminer une densité fn de Xn.
Toutes les variables aléatoires de cet exercice sont définies sur un espace probabilisé (⌦,A, P).
1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité.
Soit aun paramètre réel etF la fonction définie sur R, à valeurs réelles, telle que :
F(x) = 8<
: 1 + ln
✓ x x+ 1
◆
si x>a 0 si x < a 2. a) Montrer queF est continue sur Rsi et seulement si a= 1
e 1.
b) Étudier les variations deFet tracer l’allure de sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
3. a) Montrer queF est la fonction de répartition d’une variable aléatoire X à densité.
b) La variable aléatoireX admet-elle une espérance ?
4. Soit Y la variable aléatoire à valeurs dansNdéfinie par Y =bXc (partie entière deX). On pose : Z =X Y.
a) CalculerP(Y = 0)et montrer que pour tout n2N⇤, on a :P(Y =n) = ln
✓
1 + 1
n(n+ 2)
◆ . b) Déterminer la fonction de répartition et une densité deZ.
c) Établir l’existence de l’espéranceE(Z) de Z. CalculerE(Z). Exercice sans préparation 9
Soita,b etcdes réels non nuls vérifiant a2+b2+c2= 1. On pose :U = 0
@a b c
1
A2M3,1(R).
1. a) Calculer la matriceM =UtU (où tU est la matrice transposée de la matrice colonne U).
b) M est-elle diagonalisable ? inversible ? 2. a) Pourn2N⇤, calculerMn.
b) Quelles sont les valeurs propres deM et les sous-espaces propres associés.
9
