2) Condition suffisante de convergence (

Dans tout le chapitre, K=Rou Cet “positif” est à prendre au sens large.

II - Séries alternées

1) Définition

On appelle série alternée toute série de la forme (−1)ⁿan où les an sont des réels de même signe.

2) Condition suffisante de convergence (

)

Soit un une série alternée dont la valeur absolue du terme général décroît et tend vers 0.

Alors un converge. De plus, pour tout p dans N, le resteRp = ^∞

n=p+1

un est du signe du “premier terme négligé” up+1 et majoré en valeur absolue par ce même terme :

|Rp| ≤ |up+1| Dém.(idée : les suites (S2q) et(S2q+1) sont adjacentes).

Quitte à remplacerunpar−un, je peux supposer que : ∀n∈N un= (−1)ⁿan où an=|un|décroît et tend vers 0. En notant(Sp)la suite des sommes partielles, j’ai

∀p∈N Sp+2 =Sp+ (−1)^p+1ap+1+ (−1)^p+2ap+2 =Sp+ (−1)^p+1(ap+1−ap+2) et ap+1−ap+2≥0 donc la suite (S2q) est décroissante tandis que(S2q+1) est croissante. De plus :

S2q+1−S2q=−a2q+1 _q→∞−→ 0

par conséquent les suites(S2q) et(S2q+1) sont adjacentes : elles convergent vers une même limiteS et donc(Sp) converge également versS, d’où la convergence de la série un, avec en outre :

∀q ∈N S2q+1 ≤S≤S2q d’où S2q+1−S2q≤S−S2q≤0 soit : −a2q+1 ≤R2q≤0 d’où |R2q| ≤a2q+1 =|u2q+1|.

De même : ∀q∈N S2q+1≤S≤S2q+2 d’où 0≤S−S2q+1 ≤S2q+2−S2q+1

soit : 0≤R2q+1 ≤a2q+2 d’où |R2q+1| ≤a2q+2=|u2q+2| et finalement :

∀p∈N |Rp| ≤ |up+1|. NB : si

n≥n0

un est une série alternée vérifiant les hypothèses du TSSA, alors la sommeS est du signe du premier termeun0. En effet,

S =un⁰+Rn⁰ avec |Rn⁰| ≤ |un⁰+1| ≤ |un⁰|.

Plus généralement, chaque somme partielleSp est du même signe que la sommeS de la série.

Exemple : pour tout α > 0, la série alternée

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹

n^α converge, car elle vérifie les hypothèses du TSSA. Noter que, pourα >1, cette série est absolument convergente, tandis que, pour 0< α≤1, elle est semi-convergente (cf. les séries de Riemann). Remarquer que, pourα >1, la majoration du reste fournie par le TSSA est meilleure que celle obtenue par comparaison à une intégrale de la série des valeurs absolues.

Les quatre sommes : pourα >1, compte tenu des résultats sur les séries de Riemann, nous disposons des sommes suivantes (les quatre séries sont absolument convergentes).

A=

∞ n=1

1

n^α ; B=

∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n^α ; C=

∞ k=1

1 (2k−1)^α =

∞ k=0

1

(2k+ 1)^α ; D=

∞ k=1

1 (2k)^α. Il faut savoir que, dès que l’on connaîtune seulede ces quatre sommes, on en déduitles trois autres! En effet nous avons immédiatement les relations :

D = 1

2^αA (banal !)

A = C+D et B=C−D (séparer les termes de rangs pair et impair)

Il en résulte

C = 1− 1

2^α A et B=A−2D= 1− 1 2^α−1 A, ce qui permet toutes les “transitions”.

Ces remarques sont utiles dès que l’on est en mesure de calculer l’une desdites sommes. On en déduit alors les trois autres !

Enfin, il est bon de comprendre que l’expression de B permet de profiter de la majoration du reste fournie par le TSSA : voir au chapitre 5 l’étude du comportement de la fonction ζ de Riemann au voisinage de 1.

II

II - Séries à termes réels positifs

1) Condition nécessaire et suffisante de convergence

Soit (un)∈R^N, telle queun≥0à partir d’un certain rangn0.

un converge si et seulement si la suite(Sp) des sommes partielles est majorée. Sinon Sp_p→∞−→ +∞. (En effet, (Sp)_p≥n0 est croissante.)

2) Utilisation des relations de comparaison

Propriété 1 : soient (un) et (vn) à termes réels positifs à partir d’un certain rang, telles que un=O(vn) (c’est le cas en particulier lorsqueun≤vn à partir d’un certain rang)

∗ si vn converge, alors un converge ;

∗ si un diverge, alors vn diverge.

Propriété 2 : soient(un)et (vn) telles que un∼vn etde signe constant à partir d’un certain rang.

un et vn sont de même nature.

NB : deux suites équivalentes sont de même signe à partir d’un certain rang ; il suffit de connaître le signe de l’une des deux suites équivalentes.

Attention ! Ces propriétés peuvent être en défaut lorsque un etvn ne sont pas de signe constant.

Exemple : soitun= (−1)ⁿ

√n−(−1)ⁿ ;

n≥1

un est une série alternée, un∼vn oùvn= (−1)ⁿ

√n ; vn vérifie les hypothèses du TSSA et donc converge et pourtant. . . un diverge ! En effet :

un=vn+wn où wn=un−vn= 1

√n(√

n−(−1)ⁿ) ∼ 1 n donc wn diverge (appliquer la propriété 2 à wn ∼ 1

n, de signe constant) ; ainsi un diverge.

Comparaison à une série de Riemann

Lorsqu’un équivalent “simple” de un n’apparaît pas, mais que un tend “suffisamment vite” vers 0, penser à étudiern^αun avecαconvenablement choisi. . .

En effet, s’il existeα >1tel que la suite(n^αun)soit bornée (en particulier si elle converge vers 0), alors un est absolument convergente (en effet|un|=O 1

n^α ).

Par exemple, pour tout s >0, e^−ns converge.

Formule de Stirling : n!∼√

2πn n e

n.

Dém. (non exigible) Soit un= 1 n!

√n n e

n ; pour montrer que la suite(un) converge, je montre que la suite (lnun) converge, en montrant que la série vn converge, où :

vn= lnun+1−lnun= ln (n+ 1)^n+1/2 n^n+1/2 ·1

e = n+1

2 ln 1 + 1

n −1 =O 1 n² ;

ainsi la suite (lnun) converge vers un réel ℓ ; donc, par continuité de la fonction exponentielle, (un) converge versL=e^ℓ>0; par conséquent :

n!∼ 1 L

√n n e

n.

On peut montrer que L= 1/√

2π, par exemple à l’aide des intégrales de Wallis. Posons pourn∈N Wn=

π/2 0

cosⁿtdt.

Une intégration par parties suivie d’une récurrence donne :

∀n≥2 Wn= n−1

n Wn−2 d’où ∀n∈N W2n= (2n)!

(2ⁿn!)² π 2.

Par ailleurs, la suite (Wn) est décroissante ; commeWn∼Wn−2, il en résulte que Wn∼Wn−1. Enfin, la suite(nWnWn−1) est constante, d’où

Wn∼ π 2n. On en déduit la valeur de L.

3) Règle de d’Alembert

Propriété : soit(un) à termes >0 à partir d’un certain rang, telle que lim

n→∞

un+1

un =ℓ∈R⁺∪ {+∞}

•siℓ <1, alors un converge ;

•siℓ >1, alors un diverge grossièrement (avec plus précisément un_n→∞−→ +∞) ;

•siℓ= 1: cas douteux de la règle de d’Alembert (cf. les séries de Riemann).

Dém.Si ℓ <1, je fixe r tel que ℓ < r <1 ; alors, à partir d’un certain rang, un+1

un ≤r d’où n0 tel que la suite un

rⁿ n≥n⁰ soit décroissante et donc (récurrence immédiate) : ∀n≥n0 0< un≤ ^u_rⁿⁿ⁰⁰ ·rⁿ. Ainsi un=O(rⁿ).

J’en déduis la convergence de un par comparaison à la série géométrique convergente rⁿ.

Même méthode pour ℓ > 1 ; dans ce cas un _n→∞−→ +∞ par minoration par une suite géométrique de raison r >1.

NB : cette méthode est un cas particulier de comparaison logarithmique ; la version générale (hors programme, mais classique !) est la suivante :

si(un) et(vn)sont deux suites à termes >0 à partir d’un certain rang, telles que un+1

un ≤ vn+1

vn , toujours à partir d’un certain rang, alors un=O(vn).

Série exponentielle:

Pour tout complexez, la série zⁿ

n! est absolument convergente, sa somme est : e^z =

∞ n=0

zⁿ n!. Dém.Pourz= 0, en posant un= zⁿ

n!, j’ai

|un+1|

|un| = |z|

n+ 1 _n→∞−→ 0<1.

La règle de d’Alembert s’applique à |un|et prouve la convergence absolue.

4) Comparaison à une intégrale

Théorème :soientn0 ∈N^∗ etf une application continue par morceaux sur[n0,+∞[, à valeurs réelles, positive et décroissante.

La série de terme général wn=

n n−1

f(t) dt−f(n) est convergente, à termes positifs.

La série

n≥n0

f(n) converge si et seulement si f est intégrable sur [n0,+∞[ (i.e. si et

seulement si ^X

n0

f(t) dtadmet une limite réelle lorsqueX tend vers+∞, cf. chapitre 7).

Application (hors programme mais classique !)

Avec les mêmes hypothèses, en cas de divergence, on a deux infiniments grands équivalents

p

n=n⁰

f(n)_p→∞∼

p n⁰

f(t) dt.

NB : 1) La relationwn=

n n−1

[f(t)−f(n)] dtpermet d’encadrerwn(un encadrement analogue peut être obtenu lorsquef est croissante).

2)Avec les notations précédentes, si en outref est de classeC¹, j’obtiens en intégrant par parties wn=

n n−1

[f(t)−f(n)] dt= (t−n+ 1) f(t)−f(n) ^t=n_t=n−1−

n n−1

(t−n+ 1)f^′(t) dt, soit

wn=−

n n−1

(t−n+ 1)f^′(t) dt.

Dém.(du théorème) Soit n > n0 ; commef est décroissante, j’ai

∀t∈[n−1, n] f(n)≤f(t)≤f(n−1) d’où, en intégrant sur[n−1, n]:

f(n)≤

n n−1

f(t) dt≤f(n−1) et en retranchant f(n), j’obtiens :

0≤wn≤f(n−1)−f(n) puis, pourp > n0, en sommant,

0≤

p

n=n0+1

wn≤f(n0)−f(p)≤f(n0). Ainsi, la série

n>n0

wn est bien à termes dans R⁺ et ses sommes partielles sont majorées, donc elle converge. Or, grâce à la relation de Chasles,

p

n=n0+1

wn=

p n⁰

f(t) dt−

p

n=n0+1

f(n) d’où, en reprenant l’encadrement précédent :

p

n=n⁰+1

f(n)≤

p n0

f(t) dt≤

p

n=n0

f(n). Comme la suite p →

p

n=n0+1f(n) et la fonctionX →

X n⁰

f(t) dt sont croissantes, le résultat annoncé en découle.

Enfin, dans le cas où ^p

n=n⁰+1

f(n) et ^p

n0

f(t) dt ont pour limite +∞, ce sont deux infiniment grands équivalents, puisque leur différence est bornée.

Exemples :

1) Séries de Riemann (rappel): pourα >0, le théorème précédent s’applique àf :t→ 1

t^α sur[1,+∞[ 2) Séries de Bertrand (classique mais hors programme !): nature de un où un= 1

n^α(lnn)^β ? 3) Constante d’Euler : avec f :t→ 1

t, je retrouve

n

k=1

1

k −lnn_n→∞−→ γ; en particulier

n

k=1

1

k ∼lnn et ici, pourn≥2,

wn=

n n−1

t−n+ 1 t² dt≤

n n−1

dt t² d’où

∞ n=p+1

wn≤ 1 p. (on a γ≈0,577 ; on ne sait toujours pas si γest un nombre rationnel ou pas. . . )

4) Formule de Stirling (deuxième version) : avecf :t→ −lnt, j’obtiens avec une deuxième intégration par parties

wn =

n n−1

(−lnt) dt+ lnn=

n n−1

t−n+ 1 t dt=

n n−1

1 2tdt+

n n−1

t−n+ 1/2

t dt

= 1

2 lnn−ln (n−1) + t²−(2n−1)t+n(n−1) 2t

t=n t=n−1

+

n n−1

(t−n+ 1) (t−n)

2t² dt

= 1

2 lnn−ln (n−1) −δn

où δn=

n n−1

(n−t) (1−(n−t))

2t² dtvérifie 0≤δn≤ 1

8

n n−1

dt

t² (cf. ∀x∈[0,1] x(1−x)≤ 1 4) ; il en résulte que la série δn converge, or pourp≥2

p

n=2

wn= lnp!−

p 1

lntdt= 1 2lnp−

p

n=2

δn

donc la suite de terme général lnp!−

p 1

lntdt−1

2lnp= lnp!− p+1

2 lnp+p−1 converge. Je retrouve ainsi l’existence deℓdansR^+∗ tel que

p!∼ℓ·p^p+1/2e^−p.

III

III - Produit de Cauchy de deux séries de nombres complexes

1) Définition

Étant données deux séries

n≥0

un et

n≥0

vn à termes complexes, on appelle produit de Cauchy de ces deux séries, la série

n≥0

wn où

∀n∈N wn=

p+q=n

upvq=

n

q=0

un−qvq=

n

p=0

upvn−p .

2) Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes

Théorème :si un et vn sontabsolument convergentes, alors wn est absolument convergente et

∞ n=0

wn=

∞ n=0

un ·

∞ n=0

vn

Attention ! Tout doit être indexé à partir de 0.

Exemple : si|z|<1, ^∞

n=1

nzⁿ⁻¹ = ^∞

n=0

(n+ 1)zⁿ= 1

(1−z)² (avec un=vn=zⁿ. . .).

Attention ! Ce résultat peut être en défaut en cas de semi-convergence : avecun=vn= (−1)ⁿ

√n+ 1, j’aiwn= (−1)ⁿ

n

p=0

√ 1 p+ 1√

n−p+ 1 or

∀p∈ {0, . . . , n} (p+ 1) n+ 2−(p+ 1) ≤ (n+ 2)² d’où 4

n

p=0

√p+ 1√1n−p+ 1 ≥(n+ 1) 2 n+ 2 et donc wn diverge grossièrement.

Dém. du théorème Je pose Un=

n

k=0

uk, Vn=

n

k=0

vk, Wn=

n

k=0

wk , Cn= [[0, n]]² , Tn= (p, q)∈N² / p+q ≤n et j’ai

Wn=

n

k=0





p+q=k

upvq



=

(p,q)∈Tn

upvq; UnVn=

(p,q)∈Cn

upvq .

Premier cas : un et vn sont à termes dansR⁺.

Alors, en posant m = E(n/2), j’ai Cm ⊂ Tn ⊂ Cn, d’où UmVm ≤ Wn ≤ UnVn et le théorème d’encadrement permet de conclure.

Cas général : je pose de même

u^′_n=|un| , v_n^′ =|vn| , w^′_n=

p+q=n

u^′_pv_q^′ , U_n^′ =

n

k=0

u^′_k, V_n^′ =

n

k=0

v^′_k, W_n^′ =

n

k=0

w_k^′ ;

le premier cas montre que w_n^′ converge et a pour somme lim

n→∞(U_n^′V_n^′), ce qui me donne dans un premier temps la convergence absolue de wn, puisque

|wn| ≤

p+q=n

u^′_pv_q^′ =w_n^′ ;

de plus,

|UnVn−Wn|=

(p,q)∈Cn\Tn

upvq ≤

(p,q)∈Cn\Tn

u^′_pv^′_q=U_n^′V_n^′ −W_n^′ _n→∞−→ 0 d’où le résultat.

3) Applications à la série exponentielle

∀ z, z^′ ∈C² e^z+z′ =e^z×e^z′, ∀z∈C e^z =e^z et ∀θ∈R e^iθ = 1.

NB : la “vraie” définition des fonctions cosetsin utilise ce qui précède ;

∀θ∈R cosθ= Ree^iθ et sinθ= Ime^iθ.

IV

IV - Compléments hors programme

1) Sommation des relations de comparaison

a) Comparaison des sommes partielles en cas de divergence Ici an est une sérieà termes réels positifs divergente.

•si un est une série à termes complexes telle queun=O(an), alors

p

n=0

un=O

p

n=0

an

•si un est une série à termes complexes telle queun=o(an), alors

p

n=0

un=o

p

n=0

an

•si bn est une sérieà termes réels positifs telle quean∼bn, alors bn diverge également et

p

n=0

an∼

p

n=0

bn.

b) Comparaison des restes en cas de convergence Ici an est une sérieà termes réels positifs convergente.

•si un est une série à termes complexes telle queun=O(an), alors

∞ n=p+1

un=O





∞ n=p+1

an





•si un est une série à termes complexes telle queun=o(an), alors

∞ n=p+1

un=o





∞ n=p+1

an





•si bn est une sérieà termes réels positifs telle quean∼bn, alors bn converge également et

∞ n=p+1

an∼

∞ n=p+1

bn.

c) Exemples d’utilisation (très classiques !) Théorème de Cesàro (convergence en moyenne)

Soit(un)une suite complexe convergeant versℓet(αn)une suite de réels positifs tels que αndiverge.

Alors la suite des moyennes pondérées







p n=0

αnun p n=0

αn





 converge également versℓ.

En particulier (avec αn= 1pour toutn), 1 p

p n=1

un converge versℓ.

Constante d’Euler

On s’intéresse à la série harmonique (divergente !) 1

n et l’on écrit (habilement) 1

n ∼ −ln 1− 1

n = lnn−ln (n−1) (pour n≥2).

Les sommes partielles sont donc des infiniment grand équivalents :

p

n=2

1

n ∼lnp d’où

p

n=1

1

n ∼lnp.

On peut préciser la différence :

p

n=1

1

n−lnp= 1 +

p

n=2

an où an= 1

n+ ln 1− 1

n ∼ − 1 2n². Par comparaison à une série de Riemann, an converge. . .

2) Suites de Cauchy — Transformation d’Abel

a) Suites de Cauchy

Définition :une suite complexe(un)_n∈N est ditede Cauchy si et seulement si

∀ε >0 ∃N ∈N ∀n≥N |un−uN| ≤ε.

Il est clair que toute suite convergente est de Cauchy, mais la réciproque est fausse dans certains espaces métriques (par exemple dans Q). Cependant elle est vraie dans R, dansC et plus généralement dans tout espace vectoriel normé de dimension finie.

Pour le prouver, on peut établir successivement les résultats suivants :

•de toute suite réelle on peut extraire une suite monotone

•de toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente(théorème de Bolzano-Weierstrass)

•de toute suite complexe bornée on peut extraire une suite convergente

•toute suite de Cauchy est bornée

•toute suite de Cauchy admettant une sous-suite convergente converge.

b) Transformation d’Abel

Soient (λn),(bn)deux suites de complexes. On pose :

∀n∈N an=λnbn et Bn=

n

k=0

bk.

Établir, pour n∈N etp∈N^∗,

p

k=1

an+k=

p

k=1

(λn+k−λn+k+1)Bn+k−λn+1Bn+λn+p+1Bn+p .

NB : le lecteur notera l’analogie avec une intégration par parties. . .

En déduire que, si la suite (Bn) est bornée et si (λn) est une suite réelle décroissante de limite nulle, alors la série an est convergente(montrer que la suite des sommes partielles est de Cauchy !).

Exemples

1) Retrouver ainsi le théorème spécial des séries alternées.

2) Montrer la convergence de la série e^int

n^α , oùα∈R^+∗ ett∈R\2πZ.