On veut montrer qu’on a (au sens des distributions) (2) ∂u∗ ∂x1 (x1, x2

UNIVERSIT´E DE ROUEN

Maˆıtrise de math´ematiques Unit´e MM5/MIM1

Ann´ee 2000–2001

Examen du 23 janvier 2001 Dur´ee : 3 heures

Aucun document n’est autoris´e. Il sera tenu compte de la pr´ecision des raisonnements, ainsi que de la clart´e de la pr´esentation des calculs.

Probl`eme I

Soit R²₊={x= (x₁, x₂)∈R², x₂>0}. On fixeu∈H¹(R²₊). On pose

(1) u^∗(x1, x2) =u(x1, x2) six2>0, u^∗(x1, x2) =u(x1,−x2) six2<0.

On veut montrer qu’on a (au sens des distributions)

(2) ∂u^∗

∂x1

(x₁, x₂) = ∂u

∂x1

(x₁, x₂) six₂>0, ∂u^∗

∂x1

(x₁, x₂) = ∂u

∂x1

(x₁,−x2) six₂<0

et qu’il existe une constanteC >0 telle que, pour toutu∈H¹(R²₊), on a

(3) k∂u^∗

∂x1

k_L2(R²)≤Ck∂u

∂x1

k_L2(R²₊).

1. Soitζ∈C^∞(R) telle que

ζ(t) = 0 sit <1, ζ(t) = 1 sit >2.

On poseζk(t) =ζ(kt) pourk∈N^∗. Pourϕ∈ D(R²), on poseϕk(x1, x2) =ϕ(x1, x2)ζk(x2).

a. Montrer queϕ_k ∈ D(R²₊) et que

(4)

Z

R²₊

u ζk

∂ϕ

∂x₁dx1dx2= Z

R²₊

u∂ϕk

∂x₁dx1dx2=− Z

R²₊

∂u

∂x₁ϕkdx1dx2.

b. Montrer qu’on peut passer `a la limite poutk→ ∞dans (4) et que l’on a Z

R²₊

u∂ϕ

∂x₁dx₁dx₂=− Z

R²₊

∂u

∂x₁ϕ dx₁dx₂.

2. Soitϕ∈ D(R²).

a. Montrer que d’apr`es la d´efinition (1) on a Z

R²

u^∗∂ϕ

∂x1

dx₁dx₂= Z

R²₊

u∂ϕ₁

∂x1

dx₁dx₂,

o`u ϕ1(x1, x2) =ϕ(x1, x2) +ϕ(x1,−x2).

b. En utilisant l’´etape 1, en d´eduire que la d´eriv´ee au sens des distributions ^∂u_∂x^∗

1 est donn´ee par (2).

c. Montrer qu’il existe une constanteC >0 telle que, pour toutu∈H¹(R²₊), on a (3).

Probl`eme II

On consid`ere l’ouvert Ω =]0,1[² (voir la figure 1). L’int´egrale d’une fonction sur ∂Ω est simplement donn´ee par

Z

∂Ω

f dσ= Z 1

0

f(x,0) +f(x,1) dx+

Z 1 0

f(0, y) +f(1, y) dy.

On note que la continuit´e de la trace s’interpr`ete ici comme la continuit´e des applications suivantes deH¹(Ω) dansL²([0,1])

γ1:u7→u(0,·), γ2:u7→u(·,0), γ3:u7→u(1,·), γ4:u7→u(·,1).

On pose

H_per¹ (Ω) ={u∈H¹(Ω)|u(·,0) =u(·,1) p.p., u(0,·) =u(1,·) p.p.}.

1. Probl`eme variationnel

On fixef ∈L²(Ω). On consid`ere le probl`eme variationnel trouver u∈H_per¹ (Ω) tel que

Z

Ω

(∇u,∇v) + Z

Ω

uv= Z

Ω

f v pour toutv∈H_per¹ (Ω).

a. Montrer queH_per¹ (Ω) est un sous-espace vectoriel ferm´e deH¹(Ω).

b. Montrer que le probl`eme variationnel admet une unique solution.

c. On suppose qu’il existe une fonctionu∈C²(Ω) telle que

−∆u+u=f dans Ω, u(·,0) =u(·,1), u(0,·) =u(1,·), uy(·,0) =uy(·,1), ux(0,·) =ux(1,·).

Montrer queuest solution du probl`eme variationnel.

d. En d´eduire la solution du probl`eme variationnel lorsquef ≡1.

2. Espace fonctionnel approch´e

On poseh= 1/2 et on associe la triangulation de Ω donn´ee `a la figure 2. On noteWh l’espace vectoriel des fonctions continues sur Ω affines sur chaque triangle et (ωi)1≤i≤9 la base canonique de Wh. On pose V_h=W_h∩H_per¹ (Ω).

On d´efinit

ωe₁=ω₁+ω₅+ω₇+ω₉, ωe₂=ω₂+ω₈, ωe₃=ω₃+ω₆, ωe₄=ω₄. a. Dessiner les supports deωe₁,ωe₂, eω₃,eω₄ sur quatre figures diff´erentes.

b. Montrer que la famille (ωei)_1≤i≤4est contenue dansVh. c. Montrer que la famille (ωei)1≤i≤4 est libre.

d. Montrer que la famille (ωe_i)_1≤i≤4est une base deV_h.

e. Montrer que la fonction vh(x, y) =|x−¹₂| est dansVh. Quelles sont ses coordonn´ees dans la base (ωei)_1≤i≤4?

3. Probl`eme variationnel approch´e

On note λ₁, λ₂, λ₃ la base canonique associ´ee au triangle de r´ef´erence de la figure 3. On rappelle l’expression du vecteurm= (R

Tλ_i) et des matricesK= R

T(∇λ_i,∇λ_j)

i,j etL= (R

Tλ_iλ_j)_i,j m=h²

6



 1 1 1



, K=





1 −¹₂ −¹₂

−¹₂ ¹₂ 0

−¹₂ 0 ¹₂



, L= h² 24





2 1 1 1 2 1 1 1 2



.

a. Calculer le vecteurc= (R

Ωωei)_1≤i≤4. b. Calculer la matriceA= R

Ω(∇eω_i,∇ωe_j)

i,j. [On utilisera les figures de la question 2.a.]

c. Calculer la matriceB= (R

Ωωe_iωe_j)_i,j.

d. Que repr´esente le vecteurξsolution du syst`eme lin´eaire (A+B)ξ=c?