Probabilités M54 Année 2017–2018
Fiche no4 : Vecteurs aléatoires - (In)dépendance
Ex 1. SoitΩ = C les 4 arêtes du carré de centre O et d’aire 1et dont les arêtes sont parallèles aux axes de coordonnées. On considère surΩla probabilité uniforme. Soient Xi(ω) =ωi, i= 1,2. Les v.a.r.X1, X2 sont-elles indépendantes ? Sont-elles corrélées ? Ex 2. Soit Ω le disque de rayon 1 centré à l’origine. Soient X1, X2 les fonctions coordonnées cartésiennes sur Ω. Montrer que X1 et X2 ne sont pas indépendantes.
Sont-elles corrélées ? Mêmes questions pour les coordonnées polairesR etθ.
Ex 3. Soit X : Ω→Rd un vecteur aléatoire. On suppose que la loi de X est donnée par
PX(B) = Z
B
f(x)dx,
oùf est une densité de probabilité. On désigne par fi les lois marginales de f.
(a) Montrer que les composantesXi deX sont indépendantes si et seulement sif(x) = f1(x)f2(x). . . fd(x). Indication : Considérant la théorie de l’intégration, on admettra que tout ce qui n’est pas évidemment faux, est vrai.
(b) Soienthi :R→Rdes fonctions. Supposons que pour touti= 1. . . d,E(|hi(Xi)|)<
+∞. Montrer que, si les Xi sont indépendants, alors
E(h1(X1)h2(X2). . . hd(Xd)) =E(h1(X1)). . .E(hd(Xd)).
En d’autres termes, « L’espérance d’un produit est le produit des espérances ».
Ex 4. Soit X : Ω→R2 une variable aléatoire vectorielle discrète prenant des valeurs (xi, yj), i = 1. . . n, j = 1. . . m. Notons P(x1 = xi, X2 = yj) = pij et P(X1 = xi) =
˜
pi, P(X2 = yj) = ˜qj. Montrer que X1 et X2 sont indépendants si et seulement si pij = ˜piq˜j, pour tout i= 1. . . n, j = 1. . . m.
Ex 5. Soient X et Y deux variables aléatoires ayant respectivement des densités f etg. Supposons que X et Y sont indépendantes. Montrer queX+Y est une variable aléatoire réelle à densité h(z)et déterminer h en fonction def et deg.
