Modélisation d'uneexpérienealéatoire a Univers Dénition : Lorsqu'une expériene omporte un nombre ni d'issues, on dénit l'ensemble Ω ={x1, x2

I. Expériene aléatoire - modélisation - langage des probabilités

Uneexpérienealéatoireestuneexpérieneliéeauhasard.Lesmathématiquesinterviennentpourappor-

terunmodèlequiomporteununiversetuneloi de probabilité.Lehoixdeesdeuxélémentsn'est

pas uniquemais il est généralementinduit parune approhe fréquentiste et une idée quel'on sefait à

prioridel'expériene.

Exemple : L'expérieneonsisteàlanerune pièedemonnaie(pileoufae)

Quellessontlesissuespossibles?

Quelleprobabilitéattibue-t-onàhaqueissue?

1. Modélisation d'uneexpérienealéatoire

a Univers

Dénition : Lorsqu'une expériene omporte un nombre ni d'issues, on dénit l'ensemble

Ω ={x¹, x², ..., xn} ^{quireprésentel'ensembledetouteslesissuesenvisagéesde}l'expériene.

Ω^{s'appellel'univers}

Exemples:

• ^{Onlaneundéet onregardelenumérodelafae obtenue:} Ω ={1,2,3,4,5,6}

• ^{Onlaneundéetonregardesilenumérodelafaeobtenueestpairouimpair:}Ω ={P, I}

• ^{Onlaneune pièedemonnaie:}Ω ={P, F}

• ^{Onlanedeux pièesdemonnaie:}Ω ={ }

• ^{Onlanedeux dés:} Ω ={(i, j), 16i, j66}

Remarque:Évidemmentl'universdépenddel'observationquiestfaite.Sionlanedeuxdés:

Ons'intéresseauproduitdesfaes:Ω =

Ons'intéresseàlasommedesfaes:Ω =

Pourterminer,ilexistedesexpérienesomportantuneinnitéd'issues. Parexemple,l'expé-

rienepeutonsisteràhoisirunnombreréel dansl'intervalle [0,1℄,onnotealorsΩ = [0,1]^.

b Loideprobabilité

SoitΩ ={x1, x2, ..., xn} ^{l'universd'uneexpérienealéatoire.}

Ondénit une loi de probabilitésur Ω ^{enassoiantàhaqueissue} xi^{, unnombre réel} p(xi)

vériant:

• 06p(xi)61

• Xn

i=1

p(xi) = 1

Déterminerlaloideprobabilitéassoiéeàuneexpérieneonsisteàassoieràhaqueissuede

l'universsaprobabilité.

Exemple:Uneurneomportesixboules:3rouges,2jauneset 1bleue.Onprélèveuneboule.

Quelmodèlemathématique peut-onhoisir?

2. Probabilitéd'unévénement

Dénitiond'unévénement : Ω = {x¹, x², ..., xn} ^{est l'ensemble des issues d'une expériene aléa-}

toire.OnappelleévénementtoutepartieA ^deΩ^.

Exemple:Onlane undééquilibré. A={2,4,6}^estl'événement: "Lafaeobtenueestunhire pair".

Événementspartiuliers:

• ^{Unévénement}xi ^{réduitàune seuleissueestunévénement} élémentaire.

• Ω^est l'événementertainet ⊘^est l'événementimpossible.

IMPORTANT:

Laprobabilitéd'unévénementA^{est lasommedetoutesles}probabilitésdesissuesappartenantàA^.

end'autrestermes,

siA={xk, xr, xs} ^avek, r, s^{entiers naturelsentre}1^et n^alorsp(A) =p(xk) +p(xr) +p(xs)

3. Équiprobabilité

LorsqueΩ^{estdeardinalni(nombred'élémentsde}Ω^{ni)etquel'onattribuelamême}probabilité àhaqueissue,onditquel'onhoisituneprobabilitépéquirépartie,onaalors:

• ^{pourtouteissue}xi ^deΩ^:p(xi) = 1 card(Ω)

• ^{pourtoutévénement}A^:p(A) =card(A)

card(Ω) = nombre d^′el´´ements de A nombre d^′el´ements de´ Ω

Ondit aussi,dansunetellesituationqu'ilyaéquiprobabilité.

4. Propriétédesprobabilités

SiA^et B ^{sontdeuxévénements:}

∗ A∩B ^estl'événementonstituédesissuesommunesdeA^{et de}B^.

∗ A∪B ^estl'événementonstituédesissuesontenuesdansA^oudansB^.

parties deΩ ^{voabulaire des événements propriété}

A A^quelonque 06p(A)61

⊘,Ω ^événementimpossible,ertain p(⊘) = 0^etp(Ω) = 1 A∩B=⊘ A^et B inompatibles p(A∪B) =p(A) +p(B)

A A^estl'événementontrairedeA p(A) = 1−p(A)

A, B A^et B ^quelonques p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(A∩B)

Exerie: Onextraitunearteauhasardd'un jeude 32artes.Quelleest laprobabilitédel'évé-

nementC:"laarten'estniunroiniunoeur"?

5. Variablealéatoire

Danseparagraphe,Ω^{estununiversni.}

a Variablealéatoire

Dénition: Lorsqu'à haque événement élémentaire (issue) d'un univers Ω ^{on assoie un}

nombre réel, on dit que l'on dénit une variable aléatoire. Une variable aléatoire est don

uneappliationX : Ω7−→R^.

Exemple:Onlaneunepièedemonnaietroisfoisdesuite.L'universΩ^{assoiéàette expé-}

rienealéatoireest onstituéde8issues:

Ω ={ }

Si l'on suppose la pièe bien équilibrée, onpeut onsidérer quees huit issues sontéquipro-

bables.

OndésigneparX ^lenombrede"fae"obtenus.Quellessontlesvaleursprisesparlavariable aléatoireX^?

Notation:(X =k) ={xi∈Ωtels que X(xi) =k}=X⁻¹(k)

Deretoursurl'exemple préédent,expliiterlesévénements(X =k)^pourk∈ {0; 1; 2; 3}

b loideprobabilitéassoiéeàune variablealéatoire

Dénition:Soitp^uneloideprobabilitésurununiversΩ^.SoitX^{unevariablealéatoiredénie}

surΩ^{prenantunnombrenidevaleurs.Lorsqu'àhaquevaleur}si(16i6n)^deX ^onassoie

lesprobabilitéspi ^del'événement”X =si”^{, onditquel'ondénit laloide}probabilitépX ^de

lavariablealéatoireX^.

Habitude:Lorsquel'énonéstipule dedéterminerlaloideprobabilitésuivieparune variable

aléatoire,il estourantderassemblerlesrésultatsdansuntableau:

ValeursdeX s¹ s^{2 ...} sn

Probabilitépi=p(X =si) =pX(si) p1 p2 ^... pn

retoursurl'exemple dulanerde pièe: Déterminer la loi de probabilité de la variable X

omptantlenombrede"fae".

Espérane,variane,éart-type

Dénition:SoitX ^{une variablealéatoireprenantlesvaleurs}s¹, s², ..., sn ^avelesprobabilités

p¹, p², ..., pn^.

OnappellerespetivementespéranemathématiquedeX^,varianedeX ^etéart-type

deX ^{lesparamètresnotés}respetivementE(X)^,V ar(X)^etσ(X)^{etsealulantdelamanière}

suivante :

• E(X) = Xn

i=0

sipi=s¹p¹+s²p²+...+snpn

l'espérane estlamoyennedesvaleurss^{ipondérées parles}probabilitésp^i.

• V ar(X) =

n

X

i=0

(si−E(X))²pi= (s1−E(X))²p1+ (s2−E(X))²p2+...+ (sn−E(X))²pn

• σ(X) = V ar(X)

Exerie:Calulerles3paramètrespréédentsavel'exempledetroislanerssuessifsd'une

pièedemonnaie.

Linéarité de l'espérane : SoitX ^et Y ^{deux variablesaléatoires dénies surle même univers} Ω^,et a^unréel.

E(X+Y) =E(X) +E(Y)^etE(aX) =aE(X)

Exemple:Onlanetroisdés.Quelleest,enmoyenne,lasommedespointsobtenus?

D'autresformulessurespérane,varianeetéart-type:

• E(X+b) =E(X) +b

• V ar(X) =E(X−E(X))²=E(X²)−[E(X)]²

• V ar(aX) =a²V ar(X)^et σ(aX) =|a|σ(X)

• V ar(X+b) =V ar(X)^etσ(X+b) =σ(X)

II. Probabilités onditionnelles

1. Exempleintrodutif

Unjoueurtireauhasardunearted'unjeu de32artes.Ononsidèrelesévénementssuivants:

F^{="laartetiréeest unegure"}

R^{="laartetiréeest unroi"}

∗ ^Calulerp(F)^,p(R)^etp(R∩F)

∗ ^{Lejoueurarme:"laartetiréeestunegure".Quelleestalorsla}probabilitéqueesoitun roi?

On sait que laarte tirée est un roi. Les aluls de probabilités s'en trouvent modiés. On

dénit don une nouvelle probabilité pF ^{qui sera nulle sur les issues ne} orrespondant pas àune gure. Pour déterminerla probabilité quela artesoit un roi,nous devonsseulement

onsidérerlesroisparmilesguresparrapportaunombretotaldegures:

Onadon:pF(R) =Card(R∩F) Card(F) =...

LaprobabilitépF(R)^s'appellelaprobabilitéonditionnelledeR ^sahantF (sous-entendusa- hantqueF ^{estréalisé:'estuneertitude!!!)}

2. Probabilitéonditionnelle

Dénition:Soitune expéreinealéatoired'universΩ^, p^uneprobabilitésur Ω^et B ^{unévénement}

telquep(B)6= 0^.

Ondénit unenouvelleprobabilitésurΩ^,notéepB^{,enposantpourtoutévénement}A^:

pB(A) =p(B∩A) p(B) pB(A)^{est parfoisnotée}p(A/B)^.

Remarques:

∗^{Larelationi-dessusest égalementuitliséedans l'autresens:} p(B∩A) =pB(A)p(B) =pA(B)p(A)

∗L'événementontrairedeA/B^est A/B^{(leontrairede}A^sahantB ^estA ^sahantB⁾

Exerie:Uneurneomporte8boules:5rougeset 3jaunes.Ontireauhasard,suessivementet

sansremise,deuxboulesdel'urne.Quelleestlaprobabilitédetirer deuxrouges?

3. Formulesdesprobabilitéstotales

Théorème :SoitΩ^{ununiversmunid'une}probabilitép^.

Si desparties B1, B2, ..., Bn ^de probabilitésnonnulles, onstituentune partition deΩ^{, alorspour}

toutévénementA^,ona: p(A) =

Xn

k=0

p(Bk∩A) = Xn

k=0

pBk(A)p(Bk) =pB₁(A)p(B¹) +...+pBn(A)p(Bn)

4. Exemple

Ononsidèretrois urnesU^1,U^{2 et}U^{3 ontenantdesboulesrougesoujaunes.}

U1 ^{:1rougeet5jaunes;} U2^{:3rougeset1jaune;}U3^{:1rougeet2jaunes.}

Onhoisituneurneauhasardet ontireunebouledansetteurne.Quelleestlaprobabilitéquela

bouletiréesoitrouge?

a Arbredeprobabilités

Règlesde aluldansunarbre :

∗ ^Laprobabilitéd'unheminestleproduit desprobabilitésmarquéessursesbranhes

∗ ^La probabilitéd'un événementestlasommedesprobabilitésdesheminsquionduisent àetévénement

b Résolution

5. Indépendane

a Événementsindépendants

Dénition:Onditquedeux événementssontindépendantslorsque :

pA(B) =p(B) ^ouenore pB(A) =p(A) ^ouenoreque p(A∩B) =p(A)p(B)

Remarques:

∗^Latroisièmearatérisationdel'indépendaneestune onséquenedesdeuxautres.

∗ ^{Deuxévénements}A ^et B ^sontindépendantslorsquelaréalisation(ounon) del'un n'apas d'inuenesurlaprobabilitéderéalisationdel'autre.

Exerie:OnlaneunepièedeuxfoisdesuiteetononsidèrelesévénementsA^{1 :"FACEau}

premierlaner"et A2 ^{:"FACEauseond} laner".LesévénementsA1 ^etA2 ^{sont-ils indépen-}

dants?

b Variablesaléatoiresindépendantes

Dénition:SoitR ^etS ^{deuxvariablesaléatoiresdéniessurununivers}Ω^. R^{prendlesvaleurs}r¹, r², ..., rn ^et S ^{prendlesvaleurs}s¹, s², ..., sm^.

Ondit queS^et R^sontindépendanteslorsque:

pourtout i^etj ⁽16i6n et16j 6m^{),lesévénements(}R=ri^{)et (}S =sj^)sontindépendants

Exemple: Onlanedeuxdésbien équilibrés.OnnoteS ^{lasommedesrésultatsobtenuset} P

leproduit.LesvariablesaléatoiresS ^et P ^sont-ellesindépendantes?

Expérienesaléatoiresindépendantes →^prinipemultipiatif

D'après"TerraherTS":"Iln'estpasrarequedesexpérienesaléatoiresrépétées(identiques

ounon)soientindépendantes,ausensintuitifduterme.Danse as,nousadmettronsque,

onformémentàl'intuition:

∗ ^laprobabilitédelalistedesrésultatsest leproduitdesprobabilitésdehaquerésultat;

∗ ^{deux variablesaléatoiresattahéesàdeuxexpérienesdiérentessont}indépendantes;"

Exemple:Onlanen^{foisundé.onnote}A^{:"onobtientaumoinsun6auoursdes}nlaners".

Calulerp(A)^.

Commenthoisirn^pourquelaprobabilitédeA^{soit supérieureouégaleà0.95?}