Première STG Exercices sur le chapitre 11 : E2. 2007 2008
E2 Savoir démontrer qu'une fonction est décroissante.
N ° 3 Soit f la fonction définie par f ( x ) = -3x+2.
Soient x1 et x2 deux réels tels que x1 < x2.
f ( x1 ) − f ( x2 ) = -3x1 + 2 − ( -3x2 + 2 ) = -3x1 + 2 + 3 x2− 2 = -3 ( x1− x2 ).
Or x1 < x2 donc x1 − x2 < 0 donc -3 ( x1 − x2 ) > 0 donc f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0 donc f ( x1 ) > f ( x2 ) Donc f est une fonction strictement décroissante sur .
Deuxième méthode : soient a et b deux réels tels que a < b alors − 3a > − 3b donc − 3a + 2 > − 3b + 2 Ainsi f ( a ) > f ( b ). Donc f est une fonction strictement décroissante sur .
N ° 4 Soit g la fonction définie par g ( x ) = x².
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] - ∞ ; 0 ] tels que x1 < x2. g ( x1 ) − g ( x2 ) = x²1 − x²2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x 2 )
Or x1 < x2 donc x1 − x2 < 0 donc ( x1 − x2 ) < 0
Et x1 et x2 sont deux réels de l'intervalle ] - ∞ ; 0 ] donc x1 + x 2 < 0 Donc g ( x1 ) − g ( x2 ) > 0 donc g ( x1 ) > g ( x2 )
Donc g est une fonction strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ].
Deuxième méthode : soient a et b deux réels négatifs tels que a < b alors a² > ab et aussi ab > b² Donc a² > b² ainsi g ( a ) > g ( b ) d'où g est une fonction strictement décroissante sur ] - ∞ ; 0 ].
N ° 5 Soit h la fonction définie par h ( x ) = 1 x .
Soient x1 et x2 deux réels de l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ tels que x1 < x2. h ( x1 ) − h ( x2 ) = 1
x1 − 1 x2 =
2 1
1 2
x x
x x
×
−
Or x1 < x2 donc x2 − x1 > 0
Et x1 et x2 sont deux réels de l'intervalle ] 0 ; + ∞ [ donc x1 × x 2 > 0 Donc h ( x1 ) − h ( x2 ) > 0 donc h ( x1 ) > h ( x2 )
Donc h est une fonction strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [ . Deuxième méthode :
Soient a et b deux réels positifs tels que a < b alors a ab < b
ab donc 1 b < 1
a d'où h ( b ) < h ( a ).
Donc h est une fonction strictement décroissante sur ] 0 ; + ∞ [ .
