UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER 2014-2015 Unit´e d’Enseignement MAT 231
Partiel du vendredi 7 novembre 2014
dur´ee : 2h
Documents et calculatrices interdits
Sauf mention explicite du contraire, toutes les r´eponses doivent ˆetre soigneusement justifi´ees.
La qualit´e de la r´edaction sera un ´el´ement d’appr´eciation de la copie.
Autour du cours
1. Soit E un espace vectoriel, x1, ..., xn des ´el´ements de E.
a. Montrer que la famille (x1, ..., xn) est li´ee si et seulement si un des vecteurs de la famille est combinaison lin´eaire des autres vecteurs.
b. Dans le cas o`u la famille (x1, ..., xn) est li´ee et la famille (x1, ..., xn−1) est libre, pr´eciser le r´esultat pr´ec´edent (justifier la r´eponse).
2. Soit E un espace vectoriel.
a. SiF, Gsont deux sous-espaces vectoriels de E, donner (sans preuve) la d´efinition et une caract´erisation ´equivalente de l’affirmation E =F ⊕G.
b. Donner la d´efinition du fait queE =E1⊕...⊕Ekpourk sous-espaces vectorielsE1, ..., Ek de E.
3. Soit A= (ai,j)1≤i,j≤n ∈Mn(K).
a. D´efinir le d´eterminant det (A).
b. Montrer que si on permute les colonnes de A par une permutation τ ∈ Sn, alors on multiplie le d´eterminant par la signature de τ.
Exercice 1
Soit E un espace vectoriel de dimension 4 et B= (e1, e2, e3, e4) une base de E.
On consid`ere la permutation σ = (1 2)(3 4) de S4. On note Tσ l’endomorphisme de E d´efini par Tσ(ei) = eσ(i), c’est-`a-dire Tσ(e1) = e2, Tσ(e2) = e1, Tσ(e3) = e4, Tσ(e4) = e3. On note f = id −Tσ.
1. Donner la matrice de f dans la base B.
2. Donner une base du noyau de f et une base de l’image de f.
3. Montrer que 12f est une projection deE sur Imf parall`element `a Kerf.
Exercice 2
SoitEun espace vectoriel de dimension finien,f un endomorphisme deEtel que Imf ⊂Kerf. On note r le rang def.
1. Montrer que r ≤ n2.
2. Montrer qu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f s’´ecrit par bloc
O A
O O
avec A ∈ Kn−r,r et O d´esigne des matrices nulles. Indication : on pourra prendre une base de Kerf et la compl´eter en une base de E.
3. Montrer qu’on peut am´eliorer le r´esultat pr´ec´edent en obtenant une matrice pour f de la forme
O A
O O
avec A∈Kr,r.
Exercice 3
Soient n ∈N, x1, ..., xn, y1, ..., yn ∈C. On consid`ere le d´eterminant suivant :
d=
1 +x1y1 ... 1 +x1yn
. .
. .
. .
1 +xny1 ... 1 +xnyn
1. Calculer dlorsque n= 1 et n= 2. Montrer que dans le cas n= 2, on ad = 0 si et seulement si x1 =x2 ou y1 =y2.
2. Montrer que d= 0 si n ≥3.
Exercice 4
Montrer que le d´eterminant :
8 14 3 6 −6 9 6 −4 3 est un nombre entier multiple de 36.
