Fonctions `a plusieurs variables Examen du 11 mai 2015, dur´ee : 3 heures
Les notes de cours ne sont pas autoris´ees
Sauf indication contraire, toutes les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees Une r´edaction succincte et propre est demand´ee pour une note maximale
Exercice 1. (5 points) (a) Soit f : R → R une fonction. Les propri´et´es suivantes sont-elles ´equivalentes:
1. Pour toutx0∈Ret toutε >0 il existeδ >0 tel que, si|x−x0| ≤δ, alors
|f(x)−f(x0)|< ε.
2. Pour toutx0∈Ret toutε >0 il existeδ >0 tel que, si|x−x0|< δ, alors
|f(x)−f(x0)| ≤ε.
(b) Soitf : Rn →Rune fonction continue et K ⊂Rn un ensemble ferm´e born´e. Montrer qu’il existex0∈Ktel que f(x)≤f(x0) pour toutx∈K.
(c)Soitf :Rn→Rune fonction. Donner la d´efinition de la diff´erentiabilit´e def en un point x0∈Rn.
(d) Soit f : R2 → R, u : R → R et v : R → R des fonctions deux fois continˆument diff´erentiables. On d´efinitg(t) =f(u(t), v(t)). Exprimer la d´eriv´ee seconde deg en termes des d´eriv´ees partielles def et des d´eriv´ees deuet v.
Exercice 2. (5 points)Pour des entiersα >0 etβ >0, on d´efinit la fonction
f(x, y) =
xαyβ
x2+y2, (x, y)6= (0,0), 0, (x, y) = (0,0).
Etudier la continuit´´ e et la diff´erentiabilit´e de f au point (0,0) en fonction des param`etres (α, β).
Exercice 3. (5 points) (a)Enoncer le r´´ esultat concernant le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 pour une fonction de deux variablesf(x, y) au point (x0, y0).
(b)Soit la fonction
f(x, y) =ex+y−siny.
Trouver un polynˆomep(x, y) de degr´e≤2 tel que
|f(x, y)−p(x, y)|
(x−1)2+ (y−2)2 →0 quand (x, y)→(1,2).
Tournez la page SVP
Exercice 4. (5 points)Soit la fonction
f(x, y) =x4+y4−4xy+ 8.
(a) Trouver les points critiques def.
(b) Trouver les extrema locaux def et ´etudier leur nature.
(c) La fonctionf, poss`ede-t-elle un maximum ou un minimum global. Si c’est le cas, trouver la valeur maximale ou minimale def.
