Nombre de diagonales d un polygone convexe

(1)

Première MS Suites particulières

Problème 1 Nombre de diagonales d’un polygone convexe

n est un entier supérieur ou égal à 3.

P n est un polygone convexe à n sommets A 1 , A 2 , ... , A n . u n est le nombre de diagonales du polygone P n .

1. Calculer u n pour n entier compris entre 3 et 6.

2. Expliquer pourquoi on a u n + 1 = u n + n – 1.

3. On pose v n = u n + 1 – u n pour tout entier n ≥ 3.

Montrer que la suite ( v n ) est arithmétique.

4. On pose s n = v 3 + v 4 + ... + v n – 1 pour tout entier n ≥ 4.

Exprimer s n en fonction de n. En déduire u n en fonction de n.

Problème 2 Somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls

n désigne un entier naturel non nul.

On considère les n + 1 cubes de centre O et d’arêtes 1 , 2 , ... , n , n + 1.

1. Déterminer le volume V du cube de centre O et de rayon n + 1.

2. k est un entier compris entre 1 et n.

V k est le volume compris entre les cubes d’arêtes k et k + 1.

a. Montrer que V k = 3 k ² + 3 k + 1.

b. Exprimer V en fonction des V k , k entier compris entre 1 et n.

c. En déduire que ( n + 1 ) ³ = 3 ( 1 ² + 2 ² + ... + n ² ) + 3 ( 1 + 2 + ... + n ) + ( n + 1 ).

d. Justifier que 1 ² + 2 ² + ... + n ² = ¹

6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ).

3. Justifier que le produit d’un entier naturel, de l’entier naturel consécutif et de la somme des deux est un multiple de 6.

(2)

Première S Suites particulières Problème 3 Famille de carrés parfaits

La suite ( u n ) est définie par u 1 = 16 , u 2 = 1 156 , u 3 = 111 556 , u 4 = 11 115 556 , etc ...

Pour n entier supérieur ou égal à 1, u n est un entier qui s’écrit avec n chiffres égaux à 1 suivis de n – 1 chiffres égaux à 5 puis d’un chiffre égal à 6. v n est la racine carrée de u n .

1. a. Compléter le tableau suivant.

n 1 2 3 4 5 6

u n 16 1 156 111 556 11 115 556 1 111 155 556 111 111 555 556 v n

b. Que peut-on remarquer ?

2. S n = 10 + 10 ² + ... + 10 ^{n – 1} et T n = 10 ⁿ + 10 ^{n + 1} + ... + 10 ^{2 n – 1} pour tout entier n ≥ 2.

Exprimer S n et T n d’une autre manière.

3. a. Vérifier que u n = T n + 5 S n + 6 pour tout entier n ≥ 2.

b. En déduire une expression de u n en fonction de n pour tout entier n ≥ 2.

c. Justifier que 9 u n = ( 2 + 10 ⁿ ) ² pour tout entier n ≥ 2.

4. u n est-il un carré parfait pour tout entier n ≥ 1 ? Justifier.

Problème 4 Famille de carrés dans un quadrillage

n désigne un entier supérieur ou égal à 1.

On appelle u n le nombre de carrés qu’on peut dénombrer sur un quadrillage de côté n.

1. Vérifier puis compléter le tableau suivant.

n 1 2 3 4

u n 1 5 14

2. a. Combien de carrés de côté 1 le quadrillage de côté n + 1 a-t-il de plus que le quadrillage de côté n ?

b. Combien de carrés de côté 2 le quadrillage de côté n + 1 a-t-il de plus que le quadrillage de côté n ?

c. Combien de carrés de côté p, p entier compris entre 1 et n le quadrillage de côté n + 1 a-t-il de plus que le quadrillage de côté n ?

d. En déduire u n + 1 en fonction de u n . Justifier que u n + 1 = u n + ( n + 1 ) ².

3. Ecrire un algorithme, qui après avoir lu une valeur non nulle de l’entier n, affiche u n . En déduire le nombre de carrés du quadrillage de côté 100.

(3)

Problème 1 Nombre de diagonales d’un polygone convexe

1. u 3 = 0. u 4 = 2. u 5 = 5. u 6 = 9.

2. Pour passer du nombre de diagonales de rang n au rang n + 1, on a u n + 1 = u n + n + 1 – 2 donc u n + 1 = n – 1.

3. Pour tout entier n ≥ 3, v n = u n + 1 – u n donc v n = n – 1.

Pour tout entier n ≥ 3, v n + 1 – v n = n – ( n – 1 ) = 1.

La suite ( v n ) est arithmétique de raison 1.

4. Pour tout entier n ≥ 4,

s n = v 3 + v 4 + ... + v n – 1 donc s n = ¹

2 ( n – 3 ) ( v 3 + v n – 1 ) donc s n = ¹

2 ( n – 3 ) ( 2 + n – 2 ) donc s n = ¹

2 n ( n – 3 ).

s n = v 3 + v 4 + ... + v n – 1 donc s n = ( u 4 – u 3 ) + ( u 5 – u 4 ) + ... + ( u n – u n – 1 ) donc s n = u n – u 3 donc s n = u n donc u n = ¹

2 n ( n – 3 ).

On remarque que la formule reste valable pour n = 3.

(4)

Première S Suites particulières

Problème 2 Somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls

1. V = ( n + 1 ) ³.

2.a. V k = ( k + 1 ) ³ – k ³

donc V k = k ³ + 3 k ² + 3 k + 1 – k ³ donc V k = 3 k ² + 3 k + 1.

2.b. V 1 + V 2 + ... + V n = ( 1 ³ – 0 ³ ) + ( 2 ³ – 1 ³ ) + ( 3 ³ – 2 ³ ) + ... + ( ( n + 1 ) ³ – n ³ ) donc V 1 + V 2 + ... + V n = V.

2.c. ( n + 1 ) ³ = ( 31 ² + 31 + 1 ) + ( 32 ² + 32 + 1 ) + ... + ( 3n ² + 3n + 1 ) donc ( n + 1 ) ³ = 3 ( 1 ² + 2 ² + ... + n ² ) + 3 ( 1 + 2 + ... + n ) + ( n + 1 ).

2.d. 3 ( 1 ² + 2 ² + ... + n ² ) = ( n + 1 ) ³ – 3 ( 1 + 2 + ... + n ) – ( n + 1 ) donc 6 ( 1 ² + 2 ² + ... + n ² ) = 2 ( n + 1 ) ³ – 3 n ( n + 1 ) – 2 ( n + 1 ) donc 6 ( 1 ² + 2 ² + ... + n ² ) = ( n + 1 ) [ 2 ( n + 1 ) ² – 3 n – 2 ] donc 6 ( 1 ² + 2 ² + ... + n ² ) = ( n + 1 ) ( 2 n ² + 4 n + 2 – 3 n – 2 ) donc 6 ( 1 ² + 2 ² + ... + n ² ) = ( n + 1 ) ( 2 n ² + n )

donc 6 ( 1 ² + 2 ² + ... + n ² ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ).

1 ² + 2 ² + ... + n ² = ¹

6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ).

3. n + ( n + 1 ) = 2 n + 1.

1 ² + 2 ² + ... + n ² est un entier donc n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) est divisible par 6.

(5)

Première MS Suites particulières Problème 3 Famille de carrés parfaits

1.a.

n 1 2 3 4 5 6

u n 16 1156 111556 11115556 1111155556 111111555556

v n 4 34 334 3334 33334 333334

1.b. v n est un entier naturel ayant ( n – 1 ) chiffres 3 puis le chiffre 4.

2. • S n = 10 + 10 ² + ... + 10 ^{n – 1}

donc S n = 10  10¹ 1 10 1

n 



donc S n = ¹⁰ ¹⁰ 9

n .

• T n = 10 ⁿ + 10 ^{n + 1} + ... + 10 ^{2 n – 1}

donc T n = 10 ⁿ  10 10 9

n

donc T n =

10 2 10 9

n n

.

3.a. Il est « limpide » que u n = T n + 5 S n + 6.

3.b. 9 u n = ( 10 ^{2 n} – 10 ⁿ ) + 5  ( 10 ⁿ – 10 ) + 54 = 10 ^{2 n} + 4  10 ⁿ + 4.

3.c. 9 u n = 10 ^{2 n} + 4  10 ⁿ + 4 donc 9 u n = ( 2 + 10 ⁿ ) ². 4. u n = ¹

9 ( 2 + 10 ⁿ ) ² donc u n = [ ¹

3 ( 2 + 10 ⁿ ) ] ².

2 + 10 ⁿ possède deux chiffres qui sont 1 et 2 et ( n – 1 ) chiffres 0 entre le 1 et le 2.

La somme des chiffres vaut 3 donc 2 + 10 ⁿ est divisible par 3 donc u n est le carré d’un entier naturel donc u n est un carré parfait.

On peut remarquer que v n = ¹

3 ( 2 + 10 ⁿ ).

(6)

Problème 4 Famille de carrés dans un quadrillage

1. u 1 = 1. ( 1 carré de côté 1 )

u 2 = 5. ( 4 carrés de côté 1 , 1 carré de côté 2 )

u 3 = 14. ( 9 carrés de côté 1 , 4 carrés de côté 2 , 1 carré de côté 3 )

u 4 = 30. ( 16 carrés de côté 1 , 9 carrés de côté 2 , 4 carrés de côté 3 , 1 carré de côté 4 )

n 1 2 3 4

u n 1 5 14 30

2.a. La réponse est 2 n + 1.

2.b. La réponse est 2 n – 1.

2.c. La réponse est 2 p – 1.

2.d. u n + 1 = u n + [ 1 + 3 + ... + ( 2 n – 1 ) + ( 2 n + 1 ) ] donc u n + 1 = u n + ¹

2 ( n + 1 ) ( 1 + 2 n + 1 ) donc u n + 1 = u n + ¹

2 ( n + 1 ) ( 2 n + 2 ) donc u n + 1 = u n + ( n + 1 ) ².

3. Saisir n ; u ← 1 ; Pour k variant de 2 à n ; u ← u + k ² ; Fin Pour ; Afficher u ; On exécute l’algorithme pour n = 100 et on obtient u 100 = 338 350.