est k-hostile

(1)

E127. Pérégrinations en milieu hostile **

Pour tout entier k ≥ 2 fixé à l'avance, on considère la suite S(k) strictement croissante d'entiers dont le premier terme est égal à 1, telle que si n appartient à S(k), l'entier m = kn en est exclu. L'encyclopédie en ligne des suites d'entiers (O.E.I.S) donne les premiers termes de ces suites pour k = 2 (http://oeis.org/A003159) et pour k = 3 (http://oeis.org/A007417).

Tout entier n qui n'appartient pas à S(k) est appelé par convention "k-hostile".

Q1 Déterminer le plus petit entier n₁ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs paires de k=2,4,6,8 et 10.

Q2 Déterminer le plus petit entier n₂ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs impaires de k=3,5,7,9,11.

Q3 Déterminer le plus petit entier n₃ qui est en même temps k-hostile pour toutes les valeurs de k = 2,3,...,11 PROPOSITION Th Eveilleau

Q1

Rq :

Chaque entier k² est dans la liste S(k) puisque k*1 est k-hostile.

Donc chaque entier de la forme k³ = k² * k, n’est pas dans la suite S(k)  est k-hostile.

On choisit le produit des facteurs avec le plus fort exposant d e chaque facteur premier trouvé : Ainsi : 2³ * 3 * 5

120 est le plus petit entier n₂ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs impaires de k=2, 4=2², 6=2*3, 8=2³ et 10.

120 est d’ailleurs le ppcm des cinq valeurs ci-dessus.

Q2

On essaie le produit des facteurs avec le plus fort exposant de chaque facteur premier trouvé : Ainsi : 3² * 5 * 7 * 11 = 3465

Ce nombre marche pour 5 : 3465 = 5 * 693 ET 693 non multiple de 5 est dans S(5), donc 3465 est 5-hostile.

Ce nombre marche pour 11 : 3465 = 11 * 315 ET 315 non multiple de 11 est dans S(11 ), donc 3465 est 11-hostile.

Par contre 3465 ne fonctionne pas pour 3 : 3465 = 3 * 1155 = 3 * (3 * 3 * 385)

385 est dans S(9) car non multiple de 3, donc 3* 385 est 9-hostile ; donc 3*3*385 est dans S(9) et enfin 3³ * 385 = 10395 est 9-hostile.

10395 fonctionne toujours pour 3, 5, 7, 8 et 11.

10395 est le plus petit entier n₂ qui est en même temps k-hostile pour les cinq valeurs impaires de k=3, 5, 7, 9 = 3², 11.

Le pgcd de ces cinq nombres est 1.

le nombre cherché est le produit des cinq valeurs ci-dessus.

10395 = 3³ * 5 * 7 * 11

Q3

On choisit le ppcm des deux valeurs trouvées aux questions Q1 et Q2 : 2³ * 3³ * 5 * 7 * 11 = 83 160.

83160 est le plus entier n₃ qui est en même temps k-hostile pour toutes les valeurs de k = 2, 3,..., 11

(2)

Petite fonction permettant de déterminer la suite S(k) en langage Actionscript 3:

var max=84000;

function Q1(k) {

var tab : Array=new Array();

tab=[ ];

var ok=true;

for (var m=1; m<=max; m++) { ok=true;

for (var i=0; i<tab.length; i++) { if (m==tab[i]*k) {

ok=false;

break;

} }

if (ok==true) { tab.push(m);

} }

return (tab);

}

trace(Q1(2));

Nombres k-hostiles à la fois pour 2, 4, 6, 8 et 10 :

120,840,1080,1320,1560,2040,2280,2760,3000,3240,3480,3720,4440,4920,5160,5640,5880,6360,7080,7320,7560,8040,8520,8760,9240,9 480,9720,9960,10680,10920,11640,11880,12120,12360,12840,13080,13560,14040,14280,14520,15000,15240,15720,15960,16440,16680, 17160,17880,18120,18360,18840,19320,19560,20040,20280,20520,20760,21000,21480,21720,22440,22680,22920,23160,23640,23880,24 360,24840,25080,25320,26040,26520,26760,27000,27240,27480,27960,28680,28920,29160,29640,30120,30360,30720,30840,31080,3132 0,31560,32280,32520,33000,33240,33480,33720,33960,34440,34680,35160,35640,35880,36120,36840,37320,37560,38040,38280,38760, 39000,39480,39720,39960,40440,40920,41160,41640,41880,42120,42360,43080,43320,44040,44280,44520,44760,45240,45480,45960,46 440,46680,46920,47640,48120,48360,48840,49080,49560,50280,50520,50760,51000,51240,51720,51960,52440,52680,52920,53160,5388 0,54120,54840,55080,55320,55560,56040,56280,56760,57000,57240,57480,57720,58440,58920,59160,59640,59880,60360,61080,61320, 61560,62040,62520,62760,63240,63480,63720,63960,64680,64920,65640,65880,66120,66360,66840,67080,67560,68040,68280,68520,69 000,69240,69720,69960,70440,70680,71160,71880,72120,72360,72840,73320,73560,74040,74280,74520,74760,75000,75480,75720,7644 0,76680,76920,77160,77640,77880,78360,78840,79080,79320,80040,80520,80760,81000,81240,81480,81960,82680,82920,83160,83640 etc.

Nombres k-hostiles à la fois pour 3, 5, 7, 9 et 11 : 10395,20790,41580, 83160 etc.