A356. Les bleues,les rouges et les violettes
On met une étiquette bleue à tout entier b > 0 s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 qui s’écrit 23 + 2 + 3 = 28.
On met une étiquette rouge à tout entier r > 0 s’il existe au moins un entier q > r tel que r est égal à q – la somme des chiffres de q. Par exemple 18 a une étiquette rouge car 18 = 21 – 1 – 2 ,à l’inverse de 15.
On ajoute une étiquette violette à tout entier qui a les deux étiquettes bleue et rouge.
Q1 Démontrer que 2015 n’a pas d’étiquette. Déterminer le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue puis le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge. [*]
Q2 Déterminer le plus petit entier qui a une étiquette violette. [**]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue. [***]
Q4 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge. [**]
Q5 Donner la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette. [**]
Q6 Démontrer que l’ensemble des entiers de 1 à 2015 contient le même nombre d’étiquettes bleues et d’étiquettes rouges et dénombrer les étiquettes violettes de cet ensemble.[***]
A part Q4 et peut-être aussi Q2, qui peut se faire à la main, rien n’est démontré, mais tout est montré.
1. Q1
2015 : sans étiquette 2016 : étiquette rouge 2022 : étiquette bleue
2. Q2
9 : étiquette violette
3. Q3
La calculatrice donne les étiquettes bleues inférieures à 1000 :
1 75 176 277 378 479 580 681 782 883 984 3 86 187 288 389 490 591 692 793 894 995 5 97 198 299 400 501 602 703 804 905 1006 7 108 209 310 411 512 613 714 815 916 1021 9 110 211 312 413 514 615 716 817 918 1032 20 121 222 323 424 525 626 727 828 929 1043 31 132 233 334 435 536 637 738 839 940 1054 42 143 244 345 446 547 648 749 850 951 1065 53 154 255 356 457 558 659 760 861 962 1076 64 165 266 367 468 569 670 771 872 973 1087
Les différences entre deux bleus consécutifs sont de 11 (très souvent) parfois de 2(110-108), voire de 15(1021-1006) ou 28(10032-10004) ou probablement davantage quand la valeur augmente. Ce qui n’incite pas franchement à en dégager une règle. Ou alors, je ne sais pas.
Les étiquettes bleues sont des ‘Self Numbers’.
Cf : http://en.wikipedia.org/wiki/Self_number et OEIS (séquence A003052).
Et il existe une jolie formule de récurrence qui en donne certains, en nombre infini :
= 9
= 8. 10+ + 8 Ou encore, mieux que wikipedia, déduit de la formule précédente :
=8. 10+ 72 − 71 9
Les 20 premiers :
4. Q4
Tous les entiers composés uniquement de chiffres 9 (y compris le nombre 9) sont rouges : 10− 10 = 10− 1 = 999 … 999 9 Il en existe donc une infinité.
5. Q5
Ce sont tous des multiples de 9.
Et 9 mis à part, ils se terminent tous par 7 ou 8.
Les treize premiers :
6. Q6
Dans l’intervalle 1 à 2015, La calculatrice dénombre : 1633 nombres sans étiquette
382 nombres avec une étiquette 201 nombres avec une étiquette bleue 201 nombres avec une étiquette rouge 20 nombres avec une étiquette violette
