A356. Les bleues, les rouges et les violettes
On met une étiquette bleue à tout entier b > 0 s’il n’existe aucun entier a < b tel que b est égal à a + la somme des chiffres de a. Par exemple 7 a une étiquette bleue à l’inverse de 28 qui s’écrit 23 + 2 + 3 = 28.
On met une étiquette rouge à tout entier r > 0 s’il existe au moins un entier q > r tel que r est égal à q – la somme des chiffres de q. Par exemple 18 a une étiquette rouge car 18 = 21 – 1 – 2 ,à l’inverse de 15.
On ajoute une étiquette violette à tout entier qui a les deux étiquettes bleue et rouge.
Q1 Démontrer que 2015 n’a pas d’étiquette. Déterminer le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette bleue puis le plus petit entier > 2015 qui a une étiquette rouge. [*]
Q2 Déterminer le plus petit entier qui a une étiquette violette. [**]
Q3 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette bleue. [***]
Q4 Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers ayant une étiquette rouge. [**]
Q5 Donner la caractéristique commune à tous les entiers ayant l’étiquette violette. [**]
Q6 Démontrer que l’ensemble des entiers de 1 à 2015 contient le même nombre d’étiquettes bleues et d’étiquettes rouges et dénombrer les étiquettes violettes de cet ensemble.[***]
Solution proposée par Paul Voyer Q1
2015 = 2011+2+1+1 n'a pas d'étiquette bleue car il existe a=2011
2015, non multiple de 9, n'a pas d'étiquette rouge car a-sdc(a) = 0 modulo 9.
Le plus petit entier >2015 qui a une étiquette bleue est 2022, car : 2016=2007+2+7
2017=2012+2+1+2 2018=2008+2+8 2019=2013+2+1+3 2020=2009+2+9 2021=2014+2+1+4
Le plus petit entier >2015 qui a une étiquette rouge est 2016 = 2020-2-2 Q2
9 = 10-1 est le plus petit entier qui a une étiquette violette.
Q3
Wikipedia et Wolfram Mathworld font état d'une relation de récurrence générant certains nombres colombiens : Ck=8.10k-1+Ck-1+8 (pour la base 10).
Avec C1=9 premier nombre colombien.
Cela montre qu'il y en a un nombre infini.
Q4
Tout 10k-1 est rouge.
Il y en a un nombre infini.
Q5
Les nombres ayant l'étiquette violette font partie des nombres colombiens (http://oeis.org/A003052) qui sont multiples de 9. http://oeis.org/A249048
Q6
On dénombre 201 étiquettes bleues et 201 étiquettes rouges.
Les étiquettes violettes, au nombre de 20, sont attribuées à :
9 9*1 108 9*12 198 9*22 378 9*42 468 9*52 558 9*62 648 9*72 738 9*82 828 9*92 918 9*102 1098 9*122 1278 9*142 1368 9*152 1458 9*162 1548 9*172 1638 9*182 1728 9*192 1818 9*202 1917 9*213 2007 9*223
