A70222. Sept boules ` a classer
On veut classer 7 boules (de mˆeme apparence, mais de poids diff´erents) par poids croissants. On dispose d’une balance tr´ebuchet, permettant de comparer 2 boules `a chaque pes´ee. Quel est le nombre minimum de pes´ees qui permet de d´eterminer le classement `a coup sˆur ? Et pour 8 ou 9 boules ? Solution
Chaque pes´ee ne pouvant donner que 2 r´eponses (penche `a droite, ou penche `a gauche), il est sˆur que 12 pes´ees ne suffisent pas toujours : elles ne fournissent que 212= 4096 ensembles distincts de r´esultats, alors qu’il y a 7! = 5040 classements possibles.
De mani`ere g´en´erale, le nombrep(n) de pes´ees pour classernboules v´erifie p(n)≥log2(n!), et donc p(7)≥13.
Ayant class´e m−1 boules, on peut classer la m-i`eme en dlog2me pes´ees, par une m´ethode de dichotomie. Chaque pes´ee compare la m-i`eme boule avec celle du milieu de la liste d´ej`a class´ee ou de la partie de liste que lui assignent les pes´ees pr´ec´edentes (ou avec l’une des plus proches du milieu si la liste/partie de liste est paire). Il suffit donc de k pes´ees pour ins´erer une boule parmi 2k−1 boules d´ej`a class´ees.
D’o`up(m)≤p(m−1) +dlog2me.
Par cette m´ethode on peut r´ealiser le classement de 7 boules en 14 pes´ees, et de n boules en
n
X
m=2
dlog2me=ndlog2ne+ 1−2dlog2ne.
Cette formule conduit `a 8 pes´ees pour 5 boules, mais 5! = 120 < 27. Christian Romon propose le proc´ed´e suivant pour montrer quep(5) = 7.
• Parmi les 5, 6 ou 7 boules A, B, C, D, E, . . ., en prendre 4 pour former 2 paires {A, B}, {C, D}, et faire les comparaisons de A avec B, et de C avec D : 2 pes´ees.
• Prendre la boule la plus lourde de chaque paire (ce sera par exempleB et D) et les comparer : 1 pes´ee.
•Soit par exemple B < D le classement obtenu, on sait d´ej`a queA < B, et 2 pes´ees suffisent (par dichotomie vis-`a-vis deA < B < D) pour ins´erer E dans le classementA < B < D.
• Comme C < D, quelle que soit la place de E dans le classement A <
B < D, 2 pes´ees suffisent (par dichotomie vis-`a-vis des 2 ou 3 boules plus l´eg`eres queD) pour ins´erer C et achever ainsi le classement des 5 boules.
Ayant class´e les 5 premi`eres boules en 7 pes´ees, on ins`ere la 6e, la 7e et la 8e en 3 pes´ees suppl´ementaires chacune (dichotomie). Ainsi p(6) = 10, p(7) = 13 etp(8) = 16, nombres qui ne peuvent ˆetre am´elior´es car 6!>29, 7!>212, et 8!>215.
Pour 9 boules, par dichotomiep(9)≤p(8) + 4 = 20, mais 9!<219. De fait, on peut classer 9 boules en 19 pes´ees. Voici une m´ethode.
Je forme 4 paires de 2 boules et (en 4 pes´ees) je d´etermine la boule la plus lourde de chaque paire. Je classe (en 5 pes´ees) ces 4 boules, ce qui me permet de les num´eroter 1, 2, 3, 4 par poids croissant ; je num´erote 10, 20, 30, 40 les boules qui ont ´et´e compar´ees `a 1, 2, 3, 4 respectivement dans la premi`ere s´erie de pes´ees, et 50 la boule qui n’a pas encore ´et´e pes´ee. Apr`es ces 9 pes´ees, je dispose du classement
10 <1<2<3<4.
Je classe 30 par rapport `a 10, 1, 2 en 2 pes´ees (l’une avec la boule m´ediane 1, l’autre avec 10 ou 2 selon le sens de la premi`ere). De mˆeme je classe 20 par rapport `a 10, 1, et ´eventuellement 30 (si 30 <2) en 2 pes´ees.
Je peux alors classer 50en 3 pes´ees par rapport aux 7 boules d´ej`a class´ees : en la comparant d’abord `a la boule m´ediane de ce classement, puis aux 3 boules plus l´eg`eres ou aux 3 boules plus lourdes selon le sens de la premi`ere pes´ee. De mˆeme je classe la boule 40 en 3 pes´ees par rapport aux boules (7 au plus) plus l´eg`eres que 4.
Une m´ethode analogue permet de classer 10 boules en 22 pes´ees, et 11 boules en 26 pes´ees. Le probl`eme de classer 12 boules en 29 pes´ees (car 12!<229) reste ouvert.
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