Devoir Surveillé n°6 : statistiques. Sujet A. Correction.
Exercice 1 (11 points)
1.
Vitesse (km/h) [70; 80[ [80; 90[ [90; 100[ [100; 110[ [110; 120[
Effectifs 28 95 77 38 12
Effectifs cumulés 28 123 200 238 250
fréquences (en %) 11.2 38 30.8 15.2 4.8
2. On étudie lesconducteurs qui passent sur cette nationale. Le caractère observé est leurvitesse.
3. La classe modale est celle dont l’effectif est le plus grand : il s’agit donc de[80 : 90[en l’occurrence.
4. L’étendueede la série s’obtient en mesurant l’écart entre les valeurs extrêmes. On a donc icie= 120−50donc e= 50km/h .
5. Soitx¯la vitesse moyenne. On fait la moyenne des 250 vitesses observées. x¯= 28×75+95×85+77×95+38×105+12×115 250
donc x¯= 91.44km/h .
6. On observeN = 250véhicules, on cherche la vitesse qui ”coupe en deux” la série statistique observée. N est pair et250 = 2×125donc la médiane est entre la 125ème et la 126ème valeur de la série classée par ordre croissant.
On voit, grâce aux effectifs cumulés, que la 125ème et la 126ème valeur sont toutes deux dans la classe[90; 100[.
La classe médiane est donc[90; 100[ .
7. Le radar surévalue toutes les vitesses de 2km/h : il faut retrancher 2km/h à toutes les vitesses. D’après la propriété de la linéarité de la moyenne, la vitesse moyenne réelle est donc également inférieure de 2km/h à celle mesurée : la vitesse moyenne des véhicules sur la nationale était x¯= 89.44km/h .
Exercice 2 (environ 4.5 points)
On a recensé le nombre d’enfants vivant dans chacun des 801 foyers d’une petite ville.
Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5 6 7
Effectifs (foyers) 290 171 155 95 41 24 18 7
1. Le caractère étudié estquantitatif discret(aucune famille n’a 1.21 enfant, par exemple !)
2. Soit¯xle nombre moyen d’enfant par famille. C’est une moyenne pondérée sur les 801 familles dont nous connais- sons le nombre d’enfants.
¯
x= 0×290+1×171+2×155+3×95+4×41+5×24+6×18+7×7
801 donc
¯
x≈1.5. Au vu des données dont nous disposons, les familles de la ville étudiée onten moyenne 1.5 enfant.
Réflechissez au résultat que vous obtenez, si vous obtenez une moyenne de 28 enfants par famille, c’est qu’il y a problème ! !.
3. On étudieN= 801familles, N est impair et801 = 2×400 + 1donc la médiane M est la 401ème valeur ; on voit (en faisant les effectifs cumulés) que cette 401ème valeur vaut 1. Donc M = 1.
4. 290 + 171 + 155 + 95soit 711 familles sur 801 soit 711801 ≈88.8% des familles vivent avec 3 enfants ou moins. Il est donc vrai que plus de 85% des foyers vivent avec 3 enfants ou moins.
Exercice 3 (environ 4.5 points)
1. On fait une moyenne des moyennes de chaque sous-groupe, pondérées par leurs effectifs : si ¯xest la moyenne des salaires dans l’entreprise :
¯
x= 312×15232+88×25216
312+88 et donc x¯= 17428.48euros .
– Si on augmente tous les salaires de 150 euros, la moyenne des salaires, à cause de la linéarité de la moyenne, est également augmentée de 150 euros. La moyenne passerait donc à 17578.48 euros .
– Si on multiplie tous les salaires par 1.05, la moyenne des salaires, à cause de la linéarité de la moyenne, est également multipliée par 1.05. La moyenne passerait donc à 18299.904 euros .
2. C’est donc la deuxième option qui est la plus avantageuse pour les salariés.
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