Correction
Devoir Surveillé n ◦ 1 2 Troisième
Arithmétique et fractions
Durée 1 heure
Exercice 1. Vrai ou faux 4 points
1. Vraie : Le nombreAest un nombre décimal.
A= 5 3 −
2 3 ×
7 10 A= 5
3 − 2 3×2×5 A= 5×5
3×5− 7 15 A= 25−7
15 A= 18
15 =6 5
A= 6
5 = 1,2 = 12 10 ∈D
2. Vraie : Le nombreBest un nombre entier.
B= 3 3+1
3 3 3−
1 3
= 4 3 2 3 B= 4
3 × 3
2 =4×3 3×2
B= 4
2 = 2∈N
3. Fausse: Le nombreC= B
A est égal à 4 3. C= 2
6 5
= 2 1 ×
5 6 =5
2
Exercice 2. D’après Brevet 2014 3 points
1. [0,5 point]En observant les valeurs du tableau, on remarque que les cellules de la colonne C semblent être obtenues par différence entre celle de la colonne A et celles de la colonne B, d’où la formule =A1-B1
On peut aussi entrer la formule =$A1-$B1
2. [0,5 point]La formule qui a été entrée dans la cellule A2, puis recopiée vers le bas est =MAX(B1 ;C1)
3. [1 point]L’algorithme en œuvre dans cette feuille de calculs est celui des différences successives qui permet de trouver le PGCD de deux entiers. Donc le nombre figurant dans la cellule C5 représente le PGCD de 216 et de 126.
4. [1 point]D’après la question précédente, la fraction216
126 n’est pas irréductible car le numérateur et le dénominateur ne sont pas premier entre eux puisque de PGCD 18 différent de 1. De ce fait
216
126 =216 : 18 126 : 18= 12
7
Exercice 3. PGCD : D’après Brevet 2014 (Pondichéry) 6 points
1. [2 points]Arthur veut répartir les dragées de façon identique dans 20 corbeilles.
Par division euclidienne de3 003et de3 731par20on obtient :
3 003 = 20×150 + 3 et 3 731 = 20×186 + 11
Chacune des 20 corbeilles sera donc composée de 150 dragées au chocolat et 186 aux amandes.
Il lui restera alors3 dragées au chocolat et 11 aux amandes.
2. Emma et Arthur décident de proposer des ballotins dont la composition est identique sans avoir de reste de dragées.
Correction CorrectionDSn◦12 -Troisième-
2. a. [1 point]On ne peut pas faire 90 ballotins sans avoir de reste avec des composition identique. En effet, il faudrait pour cela que 90 soit un diviseur commun de3 003et de3 731ce qui n’est pas le cas :
3 003 = 90×33 + 33 et 3 731 = 90×41 + 41
2. b. [3 points]Le nombre de ballotin cherché,N, est un diviseur commun de3 003et de3 731. Or on cherche le nombre maximum de ballotins et de ce faitNest le PGCD de3 003et de3 731.
Utilisons l’algorithme d’Euclide pour calculer ce PGCD :
3731 = 1×3003 + 728 3003 = 4×728 + 91
728 = 8×91 + 0
Le dernier reste non nul est91donc le PGCD de3 003et de3 731est91et lenombre maximal de ballotins est de 91.
Puisque :
3 003 = 91×33 et 3 731 = 91×41
La composition de chacun des91 ballotinssera de33 dragées au chocolat et41 aux amandes.
Exercice 4. D’après Brevet 6 points
1. Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux ?
Non ils ne sont pas premiers entre eux car 3 est un diviseur commun de 756 et de 441 donc leur PGCD n’est pas 1 mais un nombre entier supérieur ou égal à 3.
2. Calculer le plus grand commun diviseur de 756 et 441 Utilisons l’algorithme d’Euclide pour calculer ce PGCD :
756 = 1×441 + 315 441 = 1×315 + 126 315 = 2×126 + 63 126 = 2×63 + 0
Le dernier reste non nul est63donc le PGCD de756et de441est63. 3. En déduire le calcul du nombre :A= 756
441 +19 21.
A= 756 441+19
21 A= 756÷63
441÷63+19 21 A= 12
7 +19 21 A= 12×3
7×3 +19 21 A= 36 + 19
21
A= 55 21
4. Le nombreAest-il décimal ? Justifier.
Le nombre A n’est pas un décimal car on ne peut le mettre sous la forme d’une fraction décimale. Le nombres de chiffres non nul de la partie décimale est infini.
A=55
21≈2,619 047 619 047 619 047 619 047 619 047 6· · ·
2/2
