Devoir Surveillé n˚6 Correction

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Devoir Surveillé n˚6 Correction

Thalès et droite des milieux

Durée 1 heure - Coeff. 4 Noté sur 20 points

Exercice 1. Application directe du cours 3 points

Dans le triangle MNP ci-contre (qui n’est pas en vraie grandeur) on a : MN = 6 cm, MQ = 2,5 cm, QR = 1,9 cm et MP = 5,7 cm.

Les droites (QR) et (NP) sont parallèles.

Calculer NP et MR b b

b

b b

b

M N

P

Q R

• Données

( ❏ Les points M, R, P et M, Q, N sont alignés sur deux droites sécantes en M;

❏ Les droites(QR)et(N P)sont parallèles.

• Le théorème

Donc d’après lethéorème de Thalèson a :

M Q

M N = M R M P = QR

N P Puis en remplaçant par les valeurs

2.5

6 = M R 5.7 = 1.9

N P

Pour calculer NP Pour calculer MR

2.5 6 = 1.9

N P

2.5

6 = M R 5.7 puis par produit en croix puis par produit en croix

N P =6×1.9

2.5 M R= 2.5×5.7 6

N P = 4,56cm M R=19

8 = 2,375cm

Exercice 2. Application directe 2 points

On considère un cercleC de centre J et un diamètre [FG] deC. H est un point du cercle C et I est le milieu du segment [FH]. On a IJ = 2,5 cm.

1. Démontrer que les droites (IJ) et (HG) sont parallèles.

Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [FH] et [FG] donc d’après le théorème des milieuxla droite (IJ) est parallèle à la droite (HG).

2. Calculer HG.

Le même théorème des milieux implique de plus que : HG= 2×IJ = 5cm .

b

J

b

F

b

G

b

H

b

I

C

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Correction Correction DS n˚6 - Quatrième - Février 2014

Exercice 3. D’après Brevet 8 points

Vous ferez la figure sur votre copie en suivant les indications de l’énoncé.

1. [1 point]Construire un triangle ABC tel que AB = 13 cm ; AC = 12 cm et BC = 5 cm.

A

×

B

×

C

×

M

×

P

2. [2 points] Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

• Données.

Si le triangle ABC est rectangle, c’est en C car [AB] est le plus grand côté.

• Le test:

( AB² = 13² = 169 AC²+CB² = 12²+ 5² = 169

• Conclusion.

On a donc égalité,AC²+CB²=AB².

De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

3. [0.5 point]Compléter la figure de la question 1 :

3. a. Construire le point M du segment [AC] tel que AM = 6 cm.

3. b. Construire la parallèle à (BC) passant par le point M. Elle coupe (AB) en P.

4. [2 points] Montrer que AP = 6,5 cm.

Dans le triangle ABC, la droite (MP) passe par le milieu du segment [AC] et est parallèle à la droite (BC) donc d’après le théorème de la droite des milieux, le point P est aussi le milieu du segment [AB] et donc :

AP = AB

2 = 6,5cm 5. [1.5 point] Montrer que PM = 2,5 cm.

Les points M et P sont les milieux respectifs des segment [AC] et [AB] donc d’après le théorème de la droite des milieux :

P M = BC

2 = 2,5cm 6. [1 point] Démontrer que les droites (PM) et (AC) sont perpendiculaires.

• Données:

( (AC) ⊥ (CB) : car le triangle ABC est rectangle en C (CB) // (M P) : par construction

• Or par théorème :

Si deux droites sont parallèles, alors, toute perpendiculaire à l’une, l’est aussi à l’autre.

Théorème 1

• Conclusion: de ce fait, les droites (MP) et (AC) sont perpendiculaires.

www.math93.com / M. Duffaud 2/4

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Exercice 4. D’après Brevet 3 points

3 m 54 m

B B^′

P P^′

O

Un touriste veut connaître la hauteur du phare de la pointe Vénus situé dans la commune de Mahina (une commune de la Polynésie française littorale située au nord de Tahiti). Pour cela, il met à l’eau une bouée B, munie d’un drapeau d’une hauteur BB^′ de 2 m. Puis, il s’en éloigne jusqu’à ce que la hauteur du drapeau semble être la même que celle du phare. Le touriste se trouve alors au point O. La figure ci-dessus représente la situation à cet instant. On suppose que le phare et le drapeau sont perpendiculaires à la surface.

Calculer la hauteur PP^′du phare.

• Données

( ❏ Les points O,B,P et O,B’,P’ sont alignés sur deux droites sécantes en O;

❏ Les droites(BB^′)et(P P^′)sont parallèles car elles sont perpendiculaires à (OP).

• Le théorème

O B

O P = O B^′

O P^′ =BB^′ P P^′ Puis en remplaçant par les valeurs

3 54 = 2

P P^′ enfin par produit en croix

P P^′ =2×54 3 =108

3 = 36 m

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Exercice 5. Attention aux calculs 3 points

Dans le triangle ABC ci-contre (qui n’est pas en vraie grandeur) on a : AC = 7

3 cm, CE =4

3 cm, ED =11

7 cm et DB = 4 5 cm.

Les droites (ED) et (AB) sont parallèles.

b b

b

b bb

A B

C

D E

1. Montrer que AB =11 4 cm.

• Données

( ❏ Les points C,E,A et C,D,B sont alignés sur deux droites sécantes en C;

❏ Les droites(ED)et(AB)sont parallèles.

• Le théorème

C E

C A = C D C B =ED

AB Puis en remplaçant par les valeurs

4 37

3

= CD

CD+4 5

= 11

7 AB

et puisque : 4 37

3

= 4 3×3

7 =4 7

4

7 = CD CD+4

5

= 11

7

AB (1)

enfin par produit en croix

AB= 7×11

7 4 = 11

4 = 2,75 cm 2. [Bonus : 2 points] Montrer que CD =16

15 cm.

Par produit en croix dans la relation (1) :

7×CD= 4×

CD+4 5

soit

7CD= 4CD+ 4×4 5 7CD= 4CD+16

5 3CD= 16

5

CD= 16

5

3 =16 5 ×1

3 = 16 15 cm

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