On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB].

T S DS 7

E XERCICE 1 Produit scalaire dans l’espace - 8 points -

Dans l’espace, on considère le cube ABCDEFGH représenté ci-contre.

On note I et J les milieux respectifs des segments [EH] et [FB].

On munit l’espace du repère orthonormé ³ A ; − − →

AB , −−→

AD, −→

AE ´ .

b b

A B

C D

E H F G

I

J

1. Donner les coordonnées des points I et J.

2. a. Montrer que le vecteur − → n



 1

− 2 2



 est un vecteur normal au plan (BGI).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

c. On note K le milieu du segment [Hl]. Le point K appartient-il au plan (BGI) ? 3. Le but de cette question est de calculer l’aire du triangle BGI.

a. En utilisant par exemple le triangle FIG pour base, démontrer que le volume du tétraèdre FBIG est égal à 1 6 . On rappelle que le volume V d’un tétraèdre est donné par la formule

V = 1

3 B ×h où B désigne l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.

b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par F et orthogonale au plan (BGI).

c. La droite ∆ coupe le plan (BGI) en F ^′ . Montrer que le point F ^′ a pour coordonnées ¡ ₇

9 ; ⁴ ₉ ; ⁵ ₉ ¢ . d. Calculer la longueur FF ^′ . En déduire l’aire du triangle BGI.

• ° • ° •

E XERCICE 2 Lois continues - 8 points -

On considère une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.

On rappelle que, pour tout réel a strictement positif,

P (X 6 a) = Z a

0

λe ^−λt dt.

On se propose de calculer l’espérance mathématique de X , notée E(X ), et définie par E (X) = lim

x→+∞

Z _x

0 λte ^−λt dt.

On note R l’ensemble des nombres réels.

Partie A

On admet que la fonction F définie sur R par F(t) = − µ

t + 1 λ

¶

e ^−λt est une primitive sur R de la fonction f définie sur R par f (t) = λte ^−λt .

1. Soit x un nombre réel strictement positif. Vérifier que Z _x

0

λte ^−λt dt = 1 λ

³

−λxe ^−λx − e ^−λx + 1 ´ . 2. En déduire que E (X ) = 1

λ .

Lycée Bertran de Born 1 17 mai 2019

T S DS 7

Partie B

La durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée X suivant la loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.

La courbe de la fonction densité associée est représentée en A NNEXE . 1. Sur le graphique de l’annexe 2 (à rendre avec la copie) :

a. Représenter la probabilité P (X 6 1).

b. Indiquer où se lit directement la valeur de λ.

2. On suppose que E (X ) = 2.

a. Que représente dans le cadre de l’exercice la valeur de l’espérance mathématique de la variable aléatoire X ? b. Calculer la valeur de λ.

c. Calculer P (X 6 2). On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0, 01 près.

Interpréter ce résultat.

d. Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d’au moins trois années ? On donnera la valeur exacte.

Partie C

Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On note D 1 l’évènement « le compo- sant 1 est défaillant avant un an » et on note D 2 l’évènement « le composant 2 est défaillant avant un an ».

On suppose que les deux évènements D 1 et D 2 sont indépendants et que P (D 1 ) = P (D 2 ) = 0, 39.

Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

1

2

Circuit en parallèle A Circuit en série B

1 2

1. Lorsque les deux composants sont montés « en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an.

2. Lorsque les deux composants sont montés « en série », le circuit B est défaillant dès que l’un au moins des deux com- posants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.

• ° • ° •

E XERCICE 3 Lois continues (bis) - 4 points -

1. Une étude effectuée sur une population d’hommes âgés de 35 à 40 ans a montré que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit une loi normale d’espé- rance µ = 1, 84 et d’écart type σ = 0, 4.

a. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu’un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol compris entre 1, 04g /L et 2, 64 g/L.

b. Déterminer selon cette modélisation la probabilité qu’un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol supérieur à 1, 2 g/L.

Lycée Bertran de Born 2 17 mai 2019

T S DS 7

c. Déterminer le taux de cholestérol t C tel que la probabilité qu’un individu ait un taux ne dépassant pas t C soit de 0,8415.

En déduire un intervalle [a,b] tel que P (T ∈ [a,b]) = 0, 683. Il est conseillé de faire un dessin

2. Une autre étude plus vaste est menée sur une population d’hommes âgés de 35 à 60 ans. Elle montre que le taux de cholestérol total dans le sang, exprimé en grammes par litre, peut être modélisé par une variable aléatoire C qui suit une loi normale d’espérance µ = 1, 92 et d’écart type σ.

On sait de plus que selon cette modélisation, la probabilité qu’un sujet tiré au hasard dans cette population ait un taux de cholestérol inférieur à 2, 54 g/L vaut environ 0,9166. (valeur arrondie à 10 ⁻⁴ près)

Donner une valeur de σ arrondie à 10 ⁻² près.

3. BONUS : Danc cette question C suit toujours la noi normale d’espérance 1,92 et d’écart-type σ (calculé à la question précédente).

Marcel, en bon épicurien, profite des plaisirs simples de la vie et faire bonne chère en fait partie. Un des inconvénients est que son taux de cholestérol « explose ».

Il décide de se prendre en main et de réduire son taux de 10%, c’est à dire parvenir à un taux égal à la borne supérieure de l’intervalle de valeur de C centré sur l’espérance dont la probabilité est d’environ 0,95.

Quel est son taux « inquiétant » actuel de cholestérol ?

• ° • ° •

Lycée Bertran de Born 3 17 mai 2019

T S DS 7

A NNEXE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

x y

Lycée Bertran de Born 4 17 mai 2019