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Correction devoir surveillé n°1
Exercice 1
a) est un polynôme de degré 3.
b) 9 12 2 4 9 16 2 ; c’est un polynôme de degré 1.
c) 0 est valeur interdite, donc n’est pas un polynôme.
Exercice 2
a) Δ 1 donc l’équation a deux solutions : 5; 6. b) Pour tout 0; 1 (ce sont les valeurs interdites), on a
équivalente à
0.
Cette équation se ramène à 3 5 2 0 (le numérateur est nul).
Δ 1 donc l’équation admet deux solutions :
et 1.
Or 1 est une valeur interdite donc finalement, .
c) L’inéquation est équivalente à 4 3 1 0. On calcule alors Δ 7 et 4 3 1 est toujours strictement du signe de ! 4 et n’est jamais négatif. D’où "
d) On résout l’inéquation dans # 3. Elle est équivalente à $%%
0 ou encore
&
0.
Pour le signe du numérateur : Δ 169 donc 3 5 12 est du signe de ! 3 sauf entre les racines
&
' $ et &' 3.
Pour le signe du dénominateur, la valeur annulante est 3. On obtient le tableau de signe suivant :
∞ 3 4
3 ∞
Signe de 3 5 12 0 0
Signe de 3 0
Signe de &
0
Finalement ) ∞; 3* , -3;$ -
Exercice 3
1) On trace la courbe de . dans un repère.
a. L’équation . 0 semble avoir trois solutions.
b. 2 est une racine entière de .. c. . se factorise donc par 2.
2) Pour tout / #, on a 2! 0 1 ! 2! 0 20 1 21. Par identification, on obtient le système : 2
2! 0 18! 8 20 1 1
21 6
4 d’où on en déduit : 5! 8 1 30 2
4.
Finalement . 28 2 3.
3) . est maintenant sous forme factorisée. Sachant que si un produit est nul alors un des facteurs est nul, on doit résoudre 2 0 et 8 2 3 0.
La première équation donne 2.
Pour la seconde, on calcule le discriminant : Δ 100 puis les deux solutions :
et $. Finalement 2: $;. Exercice 4
1) La fonction est un polynôme de degré 2 avec ! 1 7 0 donc sa courbe représentative est une parabole tournée vers le bas et dont le sommet a pour abscisse –:9 .
Le tableau de variations est donc :
∞ 1
2 ∞
Variations de
$
∞ ∞
En effet ;< ;< ;< $ $
2) Pour étudier la position relative des courbes de et , on doit étudier le signe de 4 5 9 5 4 9
Le discriminant est Δ 196 et donc 5 4 9 est du signe de ! 5 sauf entre les racines $$= 1 et $$= 2,4.
∞ 1 2,4 ∞
Signe de 0 0
Donc sur ) ∞; 1) , *2,4 ; ∞* , la courbe de est au dessus de la courbe de et sur *1; 2,4) la courbe de est au dessus de la courbe de .
