Correction du devoir surveillé n˚1

Correction du devoir surveillé n˚1

Exercice 1.

1. On dit queb diviseas’il existe un entierktel quea=kb.

2. Soita,b etc trois entiers tels queaetbdivisentc. Alors, il existe deux entiersketk⁰ tels quec=kaet c=kbdoncc²=c×c= (ka)×(k⁰b) =kk⁰(ab). Commekk⁰ est entier, on en déduit que abdivisec² . 3. La réciproque de la propriété précédente est « si abdivisec² alorsadivisec etbdivisec ». Celle-ci est

fausse. Par exemple, poura= 4, b= 9 etc= 6 alorsab= 36 =c² doncab divisec² pourtant niani bne divisec.

Exercice 2.

1. Soit un entier naturel ntel que 2n+ 3 divise 19. Alors, 2n+ 3 vaut 1 ou 19 doncn=−1 oun= 8. Comme n≥0,n= 8. Réciproquement, sin= 8 alors 2n+ 3 = 19 divise bien 19. Ainsi, l’ensemble des entiers n tels que 2n+ 3 divise 19 est{8}.

2. Soit un entier natureln. Alors,

19|n+ 5⇔ ∃k∈Z, n+ 5 = 19k⇔ ∃k∈Z, n=−5 + 19k.

De plus,

−5 + 19k≥0⇔19k≥5⇔k≥1 (carkest entier).

Ainsi, l’ensemble des entiers naturelsntels quen+ 5 divise 19 est{−5 + 19k|k∈N^∗}.

3. Soit un entier naturel n tel que n+ 5 divise 2n+ 3. Alors, comme n+ 5 divise n+ 5, n+ 5 divise 2(n+ 5)−(2n+ 3) = 7. Ainsi,n+ 5 est un diviseur de 7 et commen∈N,n+ 5≥5 doncn+ 5 = 7 soit n= 2. Réciproquement, sin= 2 alorsn+ 5 = 7 divise 2n+ 3 = 7. On conclut que l’ensemble des entiersn tels que 2n+ 3 divise 19 est{2}.

Exercice 3.

1. L’ensemble des diviseurs de 21 dansZest{−21,−7,−3,−1,1,3,7,21}.

2. Soitnun entier tel quen(n+ 2) = 21. Alors, (n, n+ 2) est un couple de diviseurs de 21 i.e. il existe deux diviseurs positifs de 21 qui diffèrent de 2. D’après la question 1, on en déduit que (n, n+ 2) est le couple (1,3). Or, 1×3 = 36= 21 doncn= 1 n’est pas solution. On conclut alors quen(n+ 2) = 21 n’a pas de solution dansN.

3. Soitn∈Ntel que (n²−1)(n³−1) = 21. Alors, (n²−1, n³−1) est un couple de diviseurs de 21. Remarquons que comme n∈N, n³> n²≥0 donc n³−1> n²−1≥0. Ainsi,n²−1∈ {−1,1,3,7} (la valeur 21 est impossible carn³−1 est un diviseur de 21 strictement supérieur àn²−1).

Si n²−1 = 1 alorsn²= 0 doncn= 0.

Si n²−1 = 1 alorsn²= 2 ce qui n’est pas possible car n∈N. Si n²−1 = 3 alorsn²= 4 doncn= 2.

Si n²−1 = 7 alorsn²= 6 ce qui n’est pas possible car n∈N. Ainsi, les valeurs possibles pournsontn= 0 etn= 2.

Réciproquement, si n= 0, (n²−1)(n³−1) = 16= 21 et si n= 2, (n²−1)(n³−1) = 3×7 = 21. Ainsi, l’ensemble des solutions de (n²−1)(n³−1) = 21 dansNest {2} .

Exercice 4.

1. A =n³+ 2n+ 3 =n(n²+ 2) + 3 = (n²+ 2)B+ 3 donc, si B ≥4, l’écriture précédente est la division euclidienne de AparB donc le reste est 3.

Si B=n= 1 alorsB diviseAdonc le reste est nul.

Si B=n= 2 alorsA= 2³+ 2×2 + 3 = 15 = 2×7 + 1 donc le reste est 1.

2. A= 6n+ 5 = 2(2n+ 3) + 2n−1 et, pour toutn∈N^∗, 0≤2n−1<2n−3 donc le reste dans la division deA parB est 2n−1.

3. A = 6ⁿ−1 = 3ⁿ2ⁿ−1 = 3ⁿ×2×2ⁿ⁻¹−1 = (2×3ⁿ)B−1 = (2×3ⁿ−1)B +B−1 et, comme n ≥1, B = 2ⁿ⁻¹ ≥1 donc 0≤B−1< B. Ainsi, le reste dans la division euclidienne deA par B est B−1 = 2ⁿ⁻¹−1.

Exercice 5.

1. Soitn∈Zune racine deP. Alors,P(n) = 0 i.e.an³+bn²+cn+d= 0 doncd=n(−an²−bn−c). Comme a,b,cet nsont entiers, on en déduit que−an²−bn−cest entier et donc ndivised.

2. D’après la question précédente, si un entier n est racine de x³−2x²+ 4x−10 alors n divise −10 donc n ∈ {−10,−5,−2,−1,1,2,5,10}. Or, on vérifie par le calcul qu’aucun de ces nombres n’annule x³−2x²+ 4x−10 donc aucun d’eux n’est racine de ce polynôme. On conclut quex³−2x²+ 4x−10 n’a pas de racine dansZ.

3. Supposons quen∈Nsoit une racine deax³+bx²+cx+ 1. Alors,ndivise 1 doncn= 1. Or, 1 est racine deax³+bx²+cx+ 1 si et seulement sia+b+c+ 1 = 0 i.e. si et seulement sia+b+c=−1.

On conclut donc que le polynôme P(x) = ax³+bx²+cx+ 1 a une racine dans N si et seulement si a+b+c=−1 (et alors cette racine est 1).