Correction du devoir surveillé n
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Partie A
1. a. Les divisions successives sont :
503 = 1×401 + 102 401 = 3×102 + 95 102 = 1×95 + 7
95 = 13×7 + 4 7 = 1×4 + 3 4 = 1×3 + 1
Ainsi, d’après l’algorithme d’Euclide, 503 et 401 sont premiers entre eux.
b. On « remonte » l’algorithme d’Euclide : 1 = 4−3
= 4−(7−4) = 2×4−7
= 2×(95−13×7)−7 = 2×95−27×7
= 2×95−27(102−95) = 29×95−27×102
= 29×(401−3×102)−27×102 = 29×401−114×102
= 29×401−114×(503−401) = 143×401−114×503 Ainsi, on a l’identité de Bézout 503×(−114) + 401×(143) = 1 .
2. a. Comme Dn diviseAn et Bn, il divise 4An−5Bn = 20n+ 12−20n−5 = 7. Ainsi,Dn est un diviseur positif de 7 donc Dn ∈ {1 ; 7}.
b.
Reste den modulo 7 0 1 2 3 4 5 6
Reste de An modulo 7 3 1 6 4 2 0 5
Reste de Bn modulo 7 1 5 2 6 3 0 4
c. Grâce au tableau précédent, on peut affirmer que 7 divise An et Bn si et seulement si n ≡5 [7] donc Dn = 7 si et seulement sin ≡5 [7].
Ainsi, Dn = 7 si n≡5 [7] et Dn = 1 sinon .
d. Comme 100 = 14×7 + 2≡2 [7], on déduit de la question précédente que D100 = 1 i.e. A100 et B100 sont premiers entre eux .
Partie B
1. Soit n∈N. Alors, Dn diviseAn etBn donc Dn divise
−cAn+aBn=−c(an+b) +a(cn+d) =−acn−bc+acb+ad=ad−bc i.e. Dn diviseT .
2. a. Supposons que T = 1. Soit n∈N. Alors, comme Dn est un entier positif et comme Dn diviseT, Dn = 1. Ainsi,An etBn sont premiers entre eux.
L’affirmation est donc vraie .
b. L’implication réciproque est : « si, pour tout n∈N,An et Bnsont premiers entre eux alors T = 1 ». Cette affirmation est fausse. En effet, si T =−1 (ce qui est le cas, par exemple, poura= 5,b = 3,c= 2 etd= 1) alors, pour tout n∈N,Dnest un diviseur positif de −1 i.e.Dn= 1 donc An et Bn sont premiers entre eux. Pour autant T 6= 1.
3. a. CommeDn est un diviseur positif de 2, Dn ∈ {1 ; 2}.
b. Soit n ∈ N. Comme a est pair, an est également pair. De plus, b est impair donc An =an+b est impair. Ainsi,An n’est pas divisible par 2 doncDn6= 2. Il suit de la question a. que Dn= 1. Ainsi, pour tout n∈N, An etBn sont premiers entre eux . c. Soit n ∈ N. Comme a, b, c et d sont tous pairs, An et Bn sont pairs donc 2 divise
An et Bn. Ainsi, 2 divise Dn et on déduit de la question a. que Dn = 2. Ainsi, pour tout n∈N, Dn = 2 .
d. Soit n ∈N.
Si n est pair alors an et cn sont pairs et, comme b et d sont pairs, An =an+b et Bn =cn+d sont pairs. On conclut alors, comme dans la question précédente, que Dn= 2.
Si nest impair alors, commea oucest impair, anoucnest impair. De plus, commeb et d sont pairs,An =an+b ou Bn= cn+dest impair. Ainsi, au moins l’un des deux nombresAn ou Bn n’est pas divisible par 2 donc Dn6= 2. On conclut alors, d’après la question a. que Dn= 1.
Ainsi, Dn = 1 si n est impair et Dn = 2 si n est pair .
4. a. Soit n∈N. Alors, An+T = a(n+T) +b =an+b+aT = An+aT. Or, Dn diviseAn et Dn divise T donc Dn divise An+T.
De même, Bn+T =c(n+T) +d= cn+d+cT =Bn+cT et comme Dn diviseBn et T, Dn divise Bn+T.
Ainsi, pour tout n ∈N,Dn divise An+T et Bn+T .
b. Soit n ∈ N. Il découle de la question précédente que An = An+T −aT et Bn = Bn+T −cT. Or, Dn+T divise An+T, Bn+T et T (puisque Dn divise T quel que soit l’entier n), doncDn+T diviseAn etBn.
Ainsi, pour tout n ∈N,Dn+T divise An et Bn .
c. Soit n∈N. On déduit de la questiona. que Dn diviseDn+T et de la question b.que Dn+T diviseDn. Comme Dn et Dn+T sont positifs, on conclut que Dn =Dn+T. On a ainsi montré que, pour tout n ∈N, Dn=Dn+T donc (Dn) est T−périodique .
