Correction du devoir surveillé n

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Correction du devoir surveillé n

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Exercice 1

1. Les divisions successives sont

2 018 = 1×1 977 + 41 1 977 = 48×41 + 9

41 = 4×9 + 5 9 = 1×5 + 4 5 = 1×4 + 1

On aboutit à un reste égal à 1 donc 2 018 et 1 977 sont premiers entre eux . 2. On remonte l’algorithme d’Euclide :

1 = 5−1×4 = 5−1×(9−1×5)

= 2×5−1×9

= 2×(41−4×9)−1×9

= 2×41−9×9

= 2×41−9×(1 977−48×41)

= 434×41−9×1 977

= 434×(2 018−1×1 977)−9×1 977

= 434×2 018−443×1 977

Ainsi, 2 018u+ 1 977v = 1 en posant u= 434 etv =−443.

Exercice 2

1. Comme d_n divise a_n etb_n,d_n divise 3b_n−4a_n = 5. Ainsi, d_n est un diviseur positif de 5 donc d_n∈ {1,5}.

2. Commed_n = 1 ou d_n = 5,d_n= 5 si et seulement si 5divise a_n et b_n. Faisons un tableau de restes modulo 5 :

Reste den modulo 5 0 1 2 3 4 Reste dea_n modulo 5 1 4 2 0 3 Reste deb_n modulo 5 3 2 1 0 5

Ainsi, 5 divise an et bn si et seulement si n ≡ 3 [4]. On conclut donc que dn = 5 si n≡3 [4] et d_n= 1 sinon.

Exercice 3

1. Soitn∈N. Comme n et n+ 1 sont consécutifs, l’un d’eux est pair doncn(n+ 1) est pair et ainsi T_n est un entier .

(2)

2. a. Par définition, T_2k= 2k(2k+ 1)

2 =k(2k+ 1) et T_2k+1= (2k+ 1)(2k+ 2)

2 = (2k+ 1)(k+ 1) donc PGCD(T_2k;T_2k+1) =PGCD(k(2k+ 1) ; (k+ 1)(2k+ 1)) et, par propriété, on a donc PGCD(T_2k;T_2k+1) = (2k+ 1)PGCD(k;k+ 1) .

b. Étant donné que1×(k+1)−1×k = 1, d’après le théorème de Bézout, PGCD(k;k+1) = 1.

c. On déduit des questions précédentes que PGCD(T_2k;T_2k+1) = 2k+ 1 .

3. a. Notons d le P.G.C.D. de 2k+ 1 et 2k+ 3. Alors, d divise 2k+ 1 et 2k+ 3 donc d divise1×(2k+ 3)−1×(2k+ 1) = 2. Comme d >0, il s’ensuit que d= 1 ou d= 2.

Or, 2k+ 1 est impair donc il n’est pas divisible par 2. On conclut donc que d= 1. b. Par définition,

T_2k+1 = (k+ 1)(2k+ 1) et T_2k+2 = (2k+ 2)(2k+ 3)

2 = (k+ 1)(2k+ 3) donc PGCD(T_2k+1;T_2k+2) =PGCD((k+ 1)(2k+ 1) ; (k+ 1)(2k+ 3))et, par propriété, on a donc PGCD(T2k+1;T2k+2) = (k+ 1)PGCD(2k+ 1 ; 2k+ 3). On déduit ainsi de la question précédente que PGCD(T_2k+1;T_2k+2) =k+ 1 .

4. Si n est pair, on écrit n= 2k avec k ∈N. Alors, T_n et T_n+1 sont premiers entre eux si et seulement si 2k+ 1 = 1 i.e. k = 0 i.e. n= 0.

Si n est impair, on écrit n = 2k+ 1 avec k ∈ N. Alors, T_n et T_n+1 sont premiers entre eux si et seulement si k+ 1 = 1 i.e. k = 0 i.e. n= 1.

Ainsi, l’ensemble des entiers naturel n tels que T_n et T_n+1 sont premiers entre eux est {0,1}.

Exercice 4

1. Comme n est impair, il existe un entier k tel que n = 2k + 1. Posons alors a = k et b= k+ 1. Alors,a+b= 2k+ 1 =n. D’après le résultat de la question 2.b. de l’exercice 3, a etb sont premiers entre eux. De plus, commen >7, k > ⁷⁻¹₂ = 3 donc a>2 etb >2.

Ainsi, a etb sont deux entiers premiers entre eux tels que n=a+b et a>2et b>2. Autre méthode. — Posons a= 2 etb =n−2. Alors, n =a+b. Notons d le P.G.C.D. de a etb. Alors, d divise a donc d= 1ou d= 2. Or, comme n est impair, n−2 est impair et ainsi2 ne divise pas n−2. On conclut qued = 1. De plus, comme n>7, b>5 donc b>2.

2. Supposons que n est pair. Alors, le reste de n modulo 4 est 0 ou 2.

Supposons quen ≡0 [4]. Alors, il existe un entier k tel que n= 4k. Posonsa = 2k+ 1 et b = 2k−1. Alors, n =a+b et a et b sont premiers entre eux d’après le résultat de la question 3.a. de l’exercice 3. De plus, comme n>7, k>2 donc a>5 etb >3.

Supposons quen ≡2 [4]. Alors, il existe un entierk tel quen= 4k+ 2. Posonsa= 2k+ 3 et b = 2k−1. Alors,n =a+b. Notons d le P.G.C.D. de a et b. Alors, d divise a et d divise b donc d divise a−b= 4. Ainsi, d= 1 ou d= 2 ou d= 4. Or, 2k+ 3 est impair donc d est impair donc d = 1. Ainsi, a et b sont premiers entre eux. De plus, comme n>7, k>2 donc a>7 etb >3.

Ainsi, a etb sont deux entiers premiers entre eux tels que n=a+b et a>2et b>2.