DS n°3 de Mathématiques Term S

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DS n°3 de Mathématiques Term S

Calculatrice autorisée - Durée 3h

EXERCICE 1 2 pts

Simplifier les écritures des nombres suivants : 𝑨 = ln(√3 + √2) + ln(√3 − √2)

𝑩 = 2 ln √8 − 3 ln (1 4)

𝑪 =ln 100 − 2 ln 2 ln 5 𝑫 = ln(𝑒²) + 3 ln √𝑒 +1

2ln1 𝑒

EXERCICE 2 6 pts

Résoudre les équations et les inéquations suivantes : 1) ln(1 − 2𝑥) − ln 2 = ln(𝑥 + 1) + ln 3 2) 2 ln 𝑥 + ln 2 = ln(𝑥 + 3)

3) ln(2𝑥) ≥ ln (𝑥² − 1) 4) 2 (ln 𝑥)²+ ln 𝑥 − 1 ≥ 0

EXERCICE 3 4 pts

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes (on ne s’occupera pas des ensembles de dérivabilité) :

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒^𝑥× ln 𝑥 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2)(ln 𝑥)²

ℎ(𝑥) =ln 𝑥 + 2 ln 𝑥 − 3 𝑖(𝑥) = ln (𝑒^𝑥− 𝑥)

EXERCICE 4 4 pts

Déterminer les limites des fonctions suivantes en 0 et en +∞ : 𝑓(𝑥) = ln 𝑥

𝑥 − ln 𝑥 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = 𝑒^𝑥 ln 𝑥

EXERCICE 5 3 pts

Pour chaque réel 𝑎, on considère la fonction 𝑓_𝑎 définie sur l’ensemble des nombres réels ℝ par : 𝑓_𝑎(𝑥) = 𝑒^𝑥−𝑎− 2𝑥 + 𝑒^𝑎.

1) Montrer que pour tout réel 𝑎, la fonction 𝑓_𝑎 possède un minimum.

2) Existe-t-il une valeur de 𝑎 pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ? N.B : on pourra étudier à nouveau une fonction…

23/01/2019

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EXERCICE 6 5 pts

On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par :

𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒^𝑥− 𝑥.

On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.

1) Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ par : 𝑔(𝑥) = 𝑒^𝑥− 𝑥 − 1.

a) Étudier les variations de la fonction 𝑔 sur ℝ. En déduire le signe de 𝑔(𝑥).

b) Montrer que, pour tout réel 𝑥, (𝑒^𝑥− 𝑥) est strictement positif.

2) a) Calculer les limites de la fonction 𝑓 en +∞ et en −∞.

b) Interpréter graphiquement les résultats précédents.

3) a) Calculer 𝑓′(𝑥), 𝑓′ désignant la fonction dérivée de 𝑓.

b) Étudier le sens de variations de 𝑓 puis dresser son tableau de variation.

c) Déterminer une équation de la tangente (𝑇) à la courbe C au point d’abscisse 0.

EXERCICE 7 6 pts

Soit la fonction 𝑓 définie sur ]0 ; +∞[ par :

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 −2 + 3 ln 𝑥 𝑥 .

1) Soit 𝜑 la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : 𝜑(𝑥) = 𝑥²− 1 + 3 ln 𝑥.

a) Calculer 𝜑(1) et la limite de 𝜑 en 0.

b) Étudier les variations de 𝜑 sur ]0 ; +∞[.

c) En déduire le signe de 𝜑(𝑥) selon les valeurs de 𝑥.

2) a) Calculer les limites de 𝑓 aux bornes de son ensemble de définition.

b) Montrer que sur ]0 ; +∞[ : 𝑓^′(𝑥) = ^𝜑(𝑥) 𝑥² . c) En déduire le tableau de variation de 𝑓.

d) Prouver que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution 𝛼 sur ]0 ; 1[ et une unique

solution 𝛽 sur ]1 ; +∞[.

e) Déterminer à la calculatrice une valeur approchée de 𝛼 et 𝛽 à 10⁻² près.

Cosinus et Exponentielle font la fête. Cosinus boit, fume et a une gueule de bois comme jamais le lendemain. Quand Exponentielle l'interroge sur son comportement, Cosinus répond : "Désolé, vieux, mais je ne connais pas mes limites !"

En ce qui vous concerne, connaissez-les vôtres, et faites le maximum… Bon courage à vous…