DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
L’anneau Z /n Z
Le but de ce probl`eme est d’introduire les anneauxZ/nZ, fondamentaux en arithm´etique.
Pour toutnentier naturel>2, on d´efinit larelation de congruence modulo nsurZ, par :
∀x, y∈Z, (y≡x[n])⇔(∃k∈Z, y=x+kn) (autrement dit,y−xest un multiple entier den, ou encore ndivisey−x).
On rappelle que relation de congruence modulo n est une relation r´eflexive, sym´etrique, transitive (on dit que c’est unerelation d’´equivalence).
Partie A – L’anneau Z /n Z
Pout tout entier relatif x, on note ¯xlaclasse d’´equivalence de xpour la relation de congruence modulon, i.e.:
¯
x={y∈Z, y≡x[n]}
A.1 Montrer que si x≡x0[n], alors ¯x= ¯x0. Montrer que l’ensemble{x, x¯ ∈Z} est fini, de cardinal n. On note cet ensembleZ/nZ.
A.2On d´efinit des lois d’addition et de multiplication surZ/nZ:
∀x,¯ y¯∈Z/nZ, x¯+ ¯y=x+y et
∀x,¯ y¯∈Z/nZ, x¯·y¯=xy
Montrer que ces op´erations sont effectivement bien d´efinies (il s’agit de prouver que la d´efinition ne d´epend pas des repr´esentants xet y choisis pour les classes d’´equivalence ¯x et ¯y), puis qu’elles conf`erent `a Z/nZune structure d’anneau commutatif.
A.3Montrer que sinest compos´e (i.e.n’est pas premier), l’anneauZ/nZn’est pas int`egre.
A.4Montrer que l’anneau (Z/nZ,+,·) est un corps si et seulement sinest premier.
A.5Petit th´eor`eme de Fermat :soita∈Z, etpun nombre premier. Montrer que ap≡a[p].
Indication : utiliser la question pr´ec´edente, et un exercice de la feuille de TD sur les structures alg´ebriques.
Partie B – Carr´ es dans Z /p Z
B.1Soita∈Z, etpun nombre premier impair. On dit queaest uncarr´e modulo p(ou queaou ¯aest un carr´e dans (Z/pZ)) s’il existex∈Ztel que
a≡x2[p]
Montrer que dansZ/pZil y a p+12 carr´es.
Indication :utiliser le morphisme carr´e sur (Z/pZ)∗, pour montrer qu’il y a autant de carr´es que de non carr´es dans (Z/pZ)∗.
B.2Montrer quex∈Ztel que ¯x6= ¯0 est un carr´e modulopsi et seulement sixp−12 ≡1 [p].
B.3Montrer que−1 est un carr´e modulopsi et seulement sip≡1 [4].
