A717. La pesée de Léonard
Parmi cent pièces, quatre sont fausses. Ces dernières ont toutes le même poids et sont plus légères que les bonnes pièces, elles mêmes de poids identiques. Comment identifier au moins douze bonnes pièces à l’issue de deux pesées faites avec une balance Roberval à deux plateaux ?
Pour les plus courageux : quel est le nombre maximum de bonnes pièces que l’on peut identifier avec deux pesées ? Source: d'après un problème posé lors d'une récente "Euler" compétition.
On scinde les 100 pièces en 3 groupes A (32 pièces), B (32 pièces) et C (36 pièces).
On compare, sur la balance A et B.
• A est plus lourd
o Il contient donc strictement moins de fausses pièces que B, donc une au plus.
o On scinde A en deux groupes A1 (16 pièces) et A2 (16 pièces).
o On compare, sur la balance A1 et A2.
o Si on a l'équilibre, les 32 pièces de A1 et A2 sont bonnes, sinon les 16 pièces du plateau le plus lourd sont bonnes
• A et B sont de même poids
o Les fausses pièces sont donc réparties comme suit :
A B C Cas 1 0 0 4 Cas 2 1 1 2 Cas 3 2 2 0
o On scinde le tas B en trois morceaux B1 (12 pièces), B2 (12 pièces) et B3 (8 pièces).
o Sur le premier plateau de la balance on pose, SANS LES MELANGER, les groupes A et B1, sur le deuxième on pose les groupes C et B3. Le groupe B2 reste seul.
o En scindant B en 3 groupes, on a prit un certain nombre de bonnes pièces et un certain nombre de fausses suivant le tableau suivant :
Plateau 1 Plateau 2
balance
B2
A B1 C B3
bonnes fausses bonnes fausses total
fausses bonnes fausses bonnes fausses total fausses
Poids
1/2 bonnes fausses
Cas 1
32 0 12 0 0 32 4 8 0 4 > 12 0
Cas 2
31 1 11 1 2 34 2 8 0 2 = 12 0
31 1 12 0 1 34 2 8 0 2 > 11 1
31 1 12 0 1 34 2 7 1 3 > 12 0
Cas 3
30 2 10 2 4 36 0 8 0 0 < 12 0
30 2 12 0 2 36 0 8 0 0 < 10 2
30 2 12 0 2 36 0 6 2 2 = 12 0
30 2 11 1 3 36 0 8 0 0 < 11 1
30 2 11 1 3 36 0 7 1 1 < 12 0
30 2 12 0 2 36 0 7 1 1 < 11 1
On constate que quand
• le plateau 1 est plus lourd (>), toutes les pièces de B1 sont bonnes,
• le plateau 2 est plus lourd (<), toutes les pièces de C sont bonnes,
• les plateaux sont en équilibre (=), toutes les pièces de B2 sont bonnes Et le maximum de bonnes pièces que l'on peut obtenir avec deux pesées est 36.
