A712 : Deux balances mises en balance
Dans tous les cas, la balance de Roberval permet de trouver la pièce différente en un moins grand nombre de pesées. Ainsi pour trois pièces, il suffit de 2 pesées si l’on ne connaît pas le signe de la différence (et une seule si on le connaît), tandis qu’il n’y a pas d’autre solution que de peser chacune des trois avec la balance électronique (deux si l’on connaît le signe).
Le problème avec la balance de Roberval a été traité au A706 : rappelons qu’il suffit de trois pesées pour trouver la pièce parmi 6, 9 ou 12. Plus généralement, en k pesées, on peut trouver l’intrus parmi (3k-3)/2 pièces (12 pour k=3), avec l’algorithme suivant : pour la première pesée, un tiers des pièces se trouve sur le plateau de droite, un tiers sur le plateau de gauche et un tiers à l’écart ; pour les autres pesées, chaque pièce va bouger au moins une fois, et le premier mouvement sera de droite à gauche, de gauche à l’écart et de l’écart à droite (ce qui donne bien (3k-3)/2 variantes).
Avec la balance électronique, il faudra 4 pesées pour 6 pièces (en formant trois lots de deux, on trouve le lot et le signe en 3 pesées, et une quatrième est nécessaire pour trouver la pièce dans le lot). Il faudra 5 pesées pour 9 et 12 pièces (on forme encore trois lots, de 3 ou 4 pièces respectivement ; on trouve le lot en 3 pesées, et il faut encore deux pesées pour identifier la pièce dans le lot. Plus généralement, en k pesées, on peut identifier une pièce parmi 3*2k-3, par dichotomie après les trois pesées initiales.
La balance de Roberval l’emporte donc toujours : il faut au plus k-1 pesées avec la balance de Roberval, quand il en faut k avec la balance électronique puisque 3*2k-3≤(3k-1-3)/2 (soit 2k-2≤3k-2-1, vrai pour k≥3)
