A723 – La preuve par x ,y et z (1er épisode) [***** à la main]
n objets ont leurs poids en grammes tous distincts qui s’échelonnent entre 1 gramme et n grammes mais en l'absence de marquage, le poids de chacun d'eux n'est pas identifié et n'est connu que de Zig. Disposant d’une balance Roberval à double plateau, sans boîte de poids, Zig se fait fort de démontrer le poids exact d’au moins un objet avec le plus petit nombre possible de pesées faisant appel à des sous-ensembles de ces objets.
Par exemple:
- si n = 2, avec l'objet de 1g dans le plateau de gauche et l'objet de 2g dans le plateau de droite, la balance penche à droite et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact des deux objets,
- si n = 3, Zig met les deux objets de poids 1g et 2g dans le plateau de gauche et le poids de 3g dans le plateau de droite, les deux plateaux sont à l'équilibre et Zig démontre ainsi en une pesée le poids exact de l'objet de 3g placé dans le plateau de droite et il faudrait un pesée supplémentaire pour démontrer le poids exact des deux autres objets.
Quand n est égal respectivement à 8,54 et 2015, Zig affirme que x,y et z pesées lui suffisent.Puce toujours sceptique devant les fanfaronnades de Zig demande une preuve pour chacune des
expériences. Trouver ces preuves et donner les valeurs correspondantes de x,y et z.
Pour les plus courageux :pour n quelconque,trouver une borne supérieure b(n) du nombre minimal de pesées permettant de démontrer le poids exact d'au moins l'un des n objets.
Solution proposée par Bernard Vignes Remarques liminaires :
1) L’égalité a + b = c + d signifie que les poids de a grammes et b grammes sur le plateau de gauche équilibrent les poids de c grammes et d grammes sur le plateau de droite.
Avec l’inégalité a + b > c + d, la balance penche du côté gauche,etc...
2) [x + y] désigne l’objet dont le poids est égal à x + y.
On a successivement :
b(4) = 1 avec 1 + 2 < 4 ==> les poids de 3g et 4g sont indentifiés.
b(5) = 2 avec 1 + 4 = 2 + 3 puis 1 + 4 = 5 ==> le poids de 5g est identifié.
b(6) = 1 avec 1 + 2 + 3 = 6 ==> le poids de 6g est identifié.
b(7) = 1 avec 1 + 2 + 3 < 7 ==> le poids de 7g est identifié.
b(8) = 1 avec 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8 ==> le poids de 6g est identifié.
b(9) = 1 avec 1 + 2 + 3 + 4 + 5 < 7 + 9 ou 8 + 9 puis 7 < 9 ou 8 < 9 ==> le poids de 9g est identifié.
b(10) = 1 avec 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ==> le poids de 10g est identifié.
b(11) = 1 avec 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 = 9 + 10 + 11 ==> le poids de 6g est identifié.
b(12) = 2 avec 1 + 2 + 3 + 4 < 11 puis 11 < 12 ==> le poids de 12g est identifié.
....
b(15) = 1 avec 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 == le poids de 15g est identifié.
...
Les valeurs de b(n) pour les petites valeurs de n font apparaître le rôle particulier joué par les nombres triangulaires T(k) de la forme k(k + 1)/2 tels que T(3) = 6 puis T(4) = 10 et T(5) = 15.
Comme l’égalité 1 + 2 ..+ k = k(k+1)/2 = T(k) est obtenue de manière unique,le poids n = T(k) est toujours identifié en une seule pesée et l’on a b(n) = 1.
Il en résulte que si un entier n est la somme de deux nombres triangulaires n = T(a) + T(b) avec a ≤ b, deux pesées sont suffisantes et b(n)= 2. En effet une première pesée avec les poids apportant le nombre triangulaire le plus élevé : 1 + 2 + 3 ...+ b = T(b) donne le poids T(b) et une deuxième pesée T(b) + 1 + 2 + ...+ a = n indique le poids n sur le plateau de droite.
Cette propriété reste vraie si n = T(a) + T(b) + 1 ou encore si n = T(a) + T(b) + 2.
En effet si n = T(a) + T(b) + 1, une première pesée 1 + 2 + ...+ b = T(b) donne le poids T(b) > a et une deuxième pesée T(b) + 1 + 2...+ a < n donne le poids n, seul à respecter l’inégalité stricte.
Si n = T(a) + T(b) + 2, une première pesée 1 + 2 + ...+ b < [T(b) + 1] montre que le poids du plateau de droite est au moins égal à T(b) + 1 grammes. Avec la deuxième pesée,l’inégalité stricte [T(b) + 1] + 1 + 2 ...+ a < n n’est possible que si le poids n est sur le plateau de droite.
A partir de la liste des nombres triangulaires donnée par l’OEIS https://oeis.org/A000217 on obtient l’égalité 2015 = 528 + 1485 + 2 = T(32) + T(54) + 2.
Donc b(2015) = 2 avec 1ère pesée : 1 + 2 + ...+54 < 1486 puis 2ème pesée 1486 + 1 + 2 + ... + 32 <
2015.
Le cas n = 54 est traité différemment car l’entier 54 comme les entiers 53 et 52 ne peuvent pas s’exprimer comme somme de deux nombres triangulaires choisis dans la liste: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45.
On parvient à obtenir b(54) = 2 en opérant comme précédemment pour n = 8,9 et 11.
On calcule les cumuls successifs des entiers décroissants à partir de 54: 54, 54 + 53 = 107, 54 + 53 + 52 = 159, 54 + 53 + 52 + 51 = 210,...et l’on retient ceux qui sont égaux à des nombres
triangulaires T(x) ou T(x) + 1 ou T(x) + 2.
Par exemple une première pesée donne : 1 + 2 + .. + 14 = T(14) = 105 = 54 + 51 et montre que la somme des deux poids du plateau de droite est au moins égale à 105. Les seules paires de poids possibles sont alors : (51,54),(52,53),(52,54) et (53,54). Une deuxième pesée réalisée avec les poids 1,2,51,54 donne 1 + 2 + 51 = 54 et permet d’affirmer que l’écart entre les deux poids les plus lourds est au moins égal à 3.. D’où une seule paire possible (51,54) et le poids de 54g est identifié avec 2 pesées.
On peut aussi opérer avec la première pesée : 1 + 2 + ...+ 20 = T(20) = 210 = 54 + 53 + 52 + 51 qui assure la présence des quatre poids 54,53,52,51g sur le plateau de droite. La deuxième pesée : 51 + 1 + 2 = 54 indique comme précédemment la présence du poids de 54g sur le plateau de droite.
Enfin avec les deux pesées : 1 + 2 + 3 ...+ 37 = T(37) = 703 = 39 + 40 + 42 + 43 ..+ 53 + 54 = 38 + 41 + 1 + 2 + 3 + ....+ 53 +54 puis 38 + 1 + 2 = 41, la première pesée indique que seuls les poids de l’une des deux paires (39,40) ou (38,41) ne sont pas utilisés et la deuxième pesée permet d’identifier le poids de 41g dont l’écart avec l’autre poids est d’au moins 3g.
Essai de généralisation
D’après Gauss (1796),https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_triangulaire, tout entier n peut être représenté comme somme de trois nombres triangulaires au maximum : n = T(a) + T(b) + T(c) avec 0 ≤ a ≤ b ≤ c.
On en déduit b(n) ≤ 3.
1ère pesée avec les poids donnant le nombre triangulaire le plus élevé T(c) : 1 + 2 + ... + c = T(c).
D’où identification de T(c).
2ème pesée : 1 + 2 + ...+ b + T(c) = [T(b) + T(c)] avec T(c) > b. D’où identification d’un objet de poids ≥ T(b) + T(c)
3ème pesée : 1 + 2 + ... + a + [T(b) + T(c)] = n avec la somme totale des poids du plateau de gauche au moins égale à T(a) + T(b) + T(c).Seul le poids n sur le plateau de droite satisfait cette condition en réalisant l’équilibre. D’où son identification avec cette troisème pesée.
Exemple n = 2015 = T(7) + T(23) + T(58) = 28 + 276 + 1711
1ère pesée : 1 + 2 + ... + 58 = 1711 ==> le poids 1711 est identifié. 2ème pesée : 1711 + 1 + 2 + ...+
22 + 23 = 1997 ==> le poids du plateau de droite pèse au moins 1997 grammes. 3ème pesée : 1997 + 1 + 2 + .. + 7 = 2015 ==> le poids du plateau de droite pèse au moins 2015 grammes. C’est
nécessairement le poids de 2015g.
