A711 A la recherche du petit poids [** à la main]

A711 A la recherche du petit poids [** à la main]

Solution

Deux pesées suffisent à identifier le poids de 1 gramme.

On désigne par A, B, C, D, E, F, G, H et I les neuf poids arrangés dans le sens des aiguilles d’une montre.

Il y a plusieurs méthodes possibles. En voici deux d’entre elles l’une représentée sous la forme d’une arborescence qui s’explique d’elle-même, l’autre sous la forme d’une table de décision..

1^ère méthode :

Le principe de cette méthode est de mettre lors de la 1^ère pesée deux poids dans chaque plateau de façon à repérer selon les trois positions possibles des 2 plateaux (gauche>droite, équilibre, gauche < droite) trois sous-ensembles disjoints de trois masses chacun au sein desquels se trouve systématiquement la masse de 1 gramme. Une 2^ème pesée suffit alors à identifier cette masse parmi chacun des sous-ensembles.

Comment interpréter cette arborescence ? Prenons les deux branches coloriées en bleu sur la partie gauche : à la 1^ère pesée, on compare A et C mis sur le plateau de gauche à F + G mis sur le plateau de droite. Si les deux masses F + G sont plus légères que A + C, alors la masse de 1 gramme se trouve nécessairement parmi (D,E,F). D’où une 2^ème pesée au cours de laquelle la comparaison de C + F à D + E permet de lever l’ambiguïté et de désigner la masse de 1 gramme parmi D ou E .ou F selon le sens où penche le plateau de gauche.

2^ème méthode

Lors de la 1^ère pesée, on met sur chacun des plateaux trois poids (par exemple A,B,D à gauche et C,E,H à droite) et selon les 9 valeurs possibles des masses attribuées à chacun d’eux, on regarde dans quel sens va pencher la balance. Pour ce faire on établit le tableau ci-après où les neuf lignes donnent les valeurs possibles des poids A,B,C,D,E,F,G,H,I qui sont rangés dans le sens des aiguilles d’une montre. On calcule la valeur de A+B+D que l’on compare à C+E+H :

Si (A,BD) se révèle plus léger que (C,E,H), la balance penche donc à droite et la masse de 1 gramme est alors A ou I ou D. Les cases jaunes donnent donc un premier sous-ensemble. Les cases vertes qui correspondent à l’équilibre des deux plateaux permettent de dire que la masse de 1 gramme est à choisir parmi F ou G ou H tandis qu’avec les cases bleues, la balance penche à gauche et la masse de 1 gramme se trouve parmi B ou C ou E.

Lors de la 2^ème pesée, on opère comme dans la 1^ère méthode en comparant entre elles deux des poids parmi les trois qui appartiennent à l’un des sous-ensemble jaune, vert ou bleu.