A733 – Pesée(s) minimale(s) [*** à la main]
Problème proposé par Bernard Vignes
Parmi 100 pièces d’apparences identiques alignées sur une même rangée, 26 sont fausses et forment une séquence unique. Les 74 autres pièces vraies ont le même poids tandis que les pièces fausses sont toutes plus légères.
On dispose d’une balance Roberval à deux plateaux.
Q₁ Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer au moins une pièce fausse.
Q₂ Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer au moins deux pièces fausses.
Solution proposée par Raymond Bloch.
Appelons « l » une pièce légère. On utilise aussi l pour le plateau le plus léger de la balance. Et on numérote les pièces de 1 à 100 depuis la gauche.
Q1. Pesée 1 : (1,27) * (53,79). Deux de ces pièces ne peuvent pas appartenir à une même séquence de 26 pièces consécutives (1 et 27 font partie d’une séquence de 27 pièces, comme 27 et 53, et 53 et 79) : donc l’une de ces 4 pièces est l.
- Si (1,27) est l : on fait la pesée 2, (1)*(27), et la plus légère est fausse.
- Si (53,79) est l : on fait la pesée 2, (53)*(79), et la plus légère est fausse.
Q2. A partir de Q1, une troisième pesée permet d’identifier deux pièces l, mais nous montrons une solution où deux pesées suffisent.
Pesée 1 : (1,2,26,27)*(51,52,76,77). Dans les « trous » de 3 à 25, ou de 28 à 50, de 53 à75, de 78 à 100, il y a 23 termes consécutifs, pas assez pour une suite de 26 pièces l. Il y a donc au moins deux pièces l parmi les 8 ci-dessus.
- L’équilibre n’est pas possible : si on avait l’équilibre, il y aurait une pièce l sur chaque plateau. Mais si 27 et 51 sont l, on n’a que 25 pièces consécutives. Si on ajoute 26 ou 52 pour compléter la
séquence à 26 pièces, les deux plateaux ne peuvent pas être à l’équilibre, contradiction.
- Si (1,2,26,27) sont le plateau l : on fait la pesée 2, (1,2)*(26,27). Par le même raisonnement que précédemment, il ne peut pas y avoir équilibre.
o Si (1,2) est l : 1 et 2 sont fausses.
o Si (26,27) est l : 26 et 27 sont fausses.
- Et si (51,52,76,77) sont l : le raisonnement est identique, et donc on identifie soit 51 et 53 comme fausses pièces, soit 76 et 77.
Dans tous les cas on a identifié deux pièces fausses.
