A70063. Pièces à balancer
Combien de pesées distinctes peut-on faire avec n pièces, en mettant un nombre égal de pièces dans chaque plateau de la balance ? Donnez-en une approximation pour ngrand.
Solution
1/ Il y aCn2k façons de choisir 2kpièces, puis (C2kk )/2 façons de les répartir entre les deux plateaux, sachant qu’échanger les plateaux ne donne pas une pesée différente.
D’où le nombre cherché (1/2)
n/2
X
k=1
Cn2kC2kk .
2/ C’est aussi la moyenne de l’expression ((1 + 2 cosu)n−1)/2 pour−π <
u < π, ce qui permet d’obtenir l’équivalent pourngrand : 3n+1 pπ(48n+ 18). Preuve.
On établit d’abord, par exemple au moyen de la fonction Bêta d’Euler B(1/2, k+ 1/2), que cos2ku a pour moyenne 2−2kC2kk . Cela conduit à expri- mer le nombre cherché par la moyenne de l’expression ((1 + 2 cosu)n−1)/2.
Pour cosu <−1/2, |1 + 2 cosu|<1 et (1 + 2 cosu)n→0 pourn grand.
Pour cosu >−1/2, 0<1 + 2 cosu|<3 et on pose 1 + 2 cosu= 3 exp(−v).
La contribution de l’intervalle−2π/3< u <2π/3 à la moyenne de (1 + 2 cosu)n/2 est
1 4π
Z ∞ v=0
3n+1/2exp(−nv) exp(−v)dv
p(1−exp(−v))(1 + 3 exp(−v)
La quantité sous radical est équivalente à 4v−5v2 pour les petites valeurs de v, qui sont prépondérantes sur le résultat quand n est grand ; les deux premiers termes du développement limité conduisent au résultat annoncé.
