D660. Objectif 2019 ***
Partant d’un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c’est le centre d’un cercle passant par 3 des points existant déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A,B,C qui forment un tri- angle équilatéral de côté 6.
Q1 Montrer que Puce peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre >10 (le diamètre de l’ensemble est la plus grande distance entre 2 de ses points).
Q2 Montrer qu’avec une démarche convenable et 400 points au plus, Puce peut obtenir un ensemble de diamètre >2019.
Q3 Pour les plus courageux avec l’aide éventuelle d’un logiciel (Geogebra ou autre) : déterminer le nombre minimum de points d’un ensemble de diamètre >2019.
Solution de Claude Felloneau
Q1− On peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre strictement supérieur à 10.
On ajouteD le centre du cercleABC,Ele centre du cercle AC D,F le centre du cercle ADE,Gle centre du cercleB DFetHle centre du cercleC DG.
A
B C
D E
F
G H
Dans le repère orthonormé³ A,~i,~j´
tel que−→
AB=6~iet l’ordonnée deCest positive, on a : A(0, 0),B(6, 0),C³
3, 3p 3´
,D³ 3,p
3´ ,E³
0, 2p 3´
,F³ 1,p
3´ ,G³
2,−2p 3´
,H³
−20, 2p 3´ doncD H =
q 232+p
32=p
532=2p
133>23 donc le diamètre de l’ensemble A,B,C,D,E,F,G,H est strictement supérieur à 10.
Q2− Avec un démarche convenable, on peut obtenir un ensemble de 52 points dont le diamètre est strictement supérieur à 2019.
Par rotation de centreDet d’angle 2π/3 ou−2π/3, on peut construireE1le centre du cercleB AD,E2le centre du cercleC B D,F1le centre du cercleB DE1,F2le centre du cercleC DE2,G1le centre du cercle C DF1,G2le centre du cercleADF2,H1le centre du cercleADG1etH2le centre du cercleB DG2.
Le triangleH H1H2est un triangle équilatéral de centreDdont le côté mesure 2×D H×sin(π/3)=2p 399.
Plus généralement, à partir d’un triangle équilatéral de centreD et de côtéc, en ajoutant 12 points on obtient un triangle équilatéral de centreDet de côtécp
133/3.
Ainsi en partant du triangleABC de centreD et de côté 6 et en itérant 4 fois le processus, on ajoute 48
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points et on obtient un triangle équilatéral de centreD et de côté 6סp 133/3¢4
>2019. Ce qui donne un ensemble de 52 points de diamètre strictement supérieur à 2019.
Q3− Il faut au minimum 10 points pour obtenir un ensemble de diamètre > 2019.
En complétant la figure de la question 1 par le centreI du triangleH F Det le centreJdu triangleC D I, on obtient un ensemble de 10 points de diamètre > 2019.
En effet, dans le repère³ A,~i,~j´
, on a (après quelques calculs) : H³
−20, 2p 3´
I³
2, 245/p 3´
J³
57097/6, 2p 3´ DoncE J=57097/6>2019.
Un programme informatique permet de vérifier que pour un ensemble de 9 points, le diamètre maximum d’environ 145. Ainsi il faut au minimum 10 points.
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