Classe de quatrième Triangle rectangle et cercle Problème : déplacement d’un point.
Soient O et A deux points du plan. On appelle ( 1) le cercle de centre O passant par le point A. M est un point du cercle ( 1). (d) est la droite perpendiculaire à (OM) qui passe par A. Soit H le point d’intersection des droites (d) et (OM). On se propose de préciser le déplacement du point H lorsque M parcourt le cercle ( 1).
1- Construction
On utilise le logiciel Geogebra Construis deux points O et A.
Construis le cercle de centre O passant par le point A.
Construis le point M sur le cercle ( 1).
Déplace les points M et A pour vérifier qu'ils appartiennent toujours au cercle ( 1).
Construis la droite (OM).
Construis la droite (d) perpendiculaire à la droite (OM) passant par A.
Construis le point H intersection des droites (d) et (OM).
Déplace le point M sur le cercle ( 1). Quelle est, selon toi, la figure géométrique parcourue par le point H dans son déplacement ?
...
2- Conjecture :
Pour mieux reconnaître la figure géométrique parcourue par le point H on va demander au logiciel d'afficher la trace laissée par le point H.
Clique avec le bouton gauche sur le point H et clique sur la commande Trace activée. Peut-tu dire quelle figure est tracée ?
...
3- Démonstration :
Clique à nouveau avec le bouton gauche sur le point H et décoche la commande Trace activée.
Déplace le point M sur le cercle ( 1). Quelle est la nature du triangle OAH ?
...
Quel est le cercle circonscrit au triangle OAH ?
...
Énonce le théorème utilisé.
...
...
Le cercle circonscrit au triangle OAH dépend-il de la position du point M sur le cercle ( 1) ? Justifie la réponse donnée.
...
...
Énonce le résultat ainsi démontré concernant la figure géométrique parcourue par le point H lorsque le point M se déplace sur le cercle C1
...
...
4- Visualisation du résultat
Construis le cercle ( 2) de diamètre [OA]. Pour cela, tu pourras créer le point I milieu du segment [OA] si besoin. En cliquant avec le bouton droit sur le cercle ( 2), choisis la commande Propriétés, puis l'onglet Couleur et colorie le cercle en rouge. Active la trace du point H.
Déplace le point M sur le cercle C1 (à l'aide des flèches du clavier).
Enregistre ta construction dans ton dossier personnel sous le nom Tri_cer_trace.
5- Prolongement
Que se passe-t-il pour le point H lorsque le point M se déplace dans tout le plan et pas seulement sur le cercle ( 1) ?
Pour répondre à cette question, construis à nouveau la figure sans placer M sur le cercle ( 1).
Déplacer le point M dans le plan (à l'aide de la souris). Que constate-t-on alors concernant la figure géométrique parcourue par le point H lors de son déplacement ?
...
...
La démonstration faite lorsque le point M se déplace sur le cercle ( 1) reste-t-elle valable ? Justifie la réponse donnée.
...
...
