1. On va montrer que l'ensemble des points vériant l'équation est le cercle de centre le point d'axe

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Exercice 1

1. On va montrer que l'ensemble des points vériant l'équation est le cercle de centre le point d'axe

⁴ⁱ₃

et de rayon

²₃

.

Notons x la partie réelle de m et y sa partie imaginaire. L'équation devient :

|m| = 2|m − i| ⇔ |m|

²

= 4|m − i|

²

⇔ x

²

+ y

²

= 4x

²

+ 4(y − 1)

²

⇔ 3x

²

+ 3y

²

− 8y = −4 ⇔ x

²

+ (y − 4

3 )

²

= − 4 3 + 16

9 = 4 9 =

2 3

²

. 2. On va montrer que l'ensemble des points cherché est l'union de l'axe des ordonnées

(privé de −i ) et du cercle de centre le point d'axe −i et de rayon 1 . Pour tout m complexe diérent −i , transformons l'expression de départ

m

²

m + i = m

²

(m − i)

|m − i|

²

= |m|

²

m − im

²

|m − i|

²

. On en déduit :

m

²

m + i ∈ i R ⇔ Re m

²

m + i

= 0 ⇔ Re |m|

²

m − im

²

= 0

⇔ |m|

²

Re(m) + Im(m

²

) = 0 ⇔ x x

²

+ y

²

+ 2y

= 0 ⇔ x = 0 ou x

²

+ (y + 1)

²

= 1.

Exercice 2

1. a. Comme ω est de module 1, son inverse est égal à son conjugué donc ω =

_ω¹

. De plus

ω

⁵

= 1 ⇒ 1 ω = ω

⁴

.

En remplaçant ω par ω

²

dans la relation précédente, on obtient ω

²

= 1

ω

²

= ω

³

car ω

⁵

= 1.

b. En multipliant par 1 − ω 6= 0 , on obtient

(1 − ω)(1 + ω + ω

²

+ ω

³

+ ω

⁴

) = 1 − ω

⁵

= 0 ⇒ 1 + ω + ω

²

+ ω

³

+ ω

⁴

= 0 2. a. D'après la question précédente, α = ω + ω = 2 Re(ω) ∈ R. Comme β = −1 − α ,

on en déduit que β est aussi réel.

b. Par dénition α + β = −1 . Exprimons le produit αβ en fonction de α puis de puissances de ω à l'aide de la question 1.a. :

αβ = − α

²

+ α

= −



ω

²

+ ω

⁸

|{z}

=ω³

+ 2 + ω + ω

⁴





= − 1 + ω + ω

²

+ ω

³

+ ω

⁴

+ 1

= −1 On va montrer que l'équation (d'inconnue z ) dont α et β sont les deux racines est

z

²

+ z − 1 = 0 En eet, pour tout z ,

(z − α)(z − β) = z

²

− (α + β)z + αβ = z

²

+ z − 1

3. Pour le cercle d'équation x

²

+ y

²

+ x − 1 = 0 , les points d'intersection sont faciles à calculer.

Les points d'intersections avec l'axe Oy ont pour coordonnées (0, 1) et (0, −1) . Les points d'intersections avec l'axe Ox ont pour coordonnées (α, 0) et (β, 0) . En eet, pour l'intersection avec 0x , on retrouve l'équation de la question précédente.

On obtient le centre et le rayon en écrivant l'équation sous une autre forme x

²

+ y

²

+ x − 1 = 0 ⇔ (x + 1

2 )

²

+ y

²

= 1 + 1 4 On en déduit que

Le centre est le point de coordonnées (−

¹₂

, 0) . Le rayon est

^√₂⁵

.

4. On suppose dans cette question que ω = e

^2iπ⁵

. On va montrer que les points d'abscisses 2 , α et β sur le cercle de centre O et de rayon 2 sont des sommets d'un pentagone régulier en montrant que leurs axes appartiennent à 2 U

5

.

Il existe un seul point du cercle dont l'abscisse est 2 , son axe est 2 ∈ 2 U

5

. Il existe deux points du cercle dont l'abscisse est α , leurs axes sont 2ω = 2e

^2iπ⁵

, et

2ω

⁴

= 2e

^8iπ⁵

(conjuguées et dans 2 U

5

).

Montrons que β est la partie réelle de ω

²

= e

^4iπ⁵

. En eet, comme ω

⁻¹

= ω

⁴

et 1 + ω + ω

²

ω

³

+ ω

⁴

= 0

β = −1 − ω − ω

⁻¹

= −1 − ω − ω

⁴

= ω

²

+ ω

³

= 2 Re(ω

²

) = 2 Re e

^4iπ⁵

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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B

K C

2

G E

H

C

₁

A O

C D

F

Fig. 1: Construction d'un pentagone régulier

Les axes des deux points du cercle d'abscisse β sont donc 2ω

²

et 2ω

²

= 2ω

³

qui sont dans 2 U

5

.

On peut construire un pentagone régulier à la règle et au compas en utilisant l'algo- rithme suivant.

Construire le point A de coordonnées (−

¹₂

, 0) et le point B de coordonnées (0, 1) Construire le cercle C

1

de centre A et passant par B .

Construire les points d'intersection C , D de C

1

avec l'axe Ox . Construire le cercle C

2

de centre 0 et de rayon 2.

Contruire les points E , F , G , H de même abscisse que C , D sur C

2

Construire le point K de coordonnées (2, 0) Alors (E, F, G, H, K) forme un pentagone régulier.

Le principe étant de commencer par construire le cercle de la question 3 dont les intersections avec l'axe réel sont les abscisses de 4 points du pentagone (dans le cercle centré à l'origine et de rayon 2).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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