Un cercle et ses points intègres
Problème E647 de Diophante
Q1 : Par convention, on appelle « intègres » l'ensemble des points de
coordonnées entières (positives, négatives ou nulles) du plan. On se fixe un entier k quelconque positif ou nul. Existe-t-il un cercle du plan qui contient en son intérieur (au sens strict) exactement k points intègres.
Q2 : Démontrer qu'il existe au moins un cercle centré à l'origine qui contient en son intérieur (au sens strict) 2009 points intègres et dont le carré du rayon est un entier n. Donner toutes les valeurs possibles de n.
Solution
Q1 – Soit D l’ensemble de toutes les médiatrices des paires de points intègres. Cet ensemble est de mesure nulle comme réunion dénombrable (l’ensemble des paires de couples d’entiers) d’ensembles (les médiatrices) de mesures nulles.
Autrement dit il existe un point du plan (a,b) (hors de D) pour lequel les distances de ce point aux points intègres sont toutes différentes.
Soit C(r) le cercle de centre (a,b) de rayon r. Lorsque r varie de 0 à l’infini le nombre de points intérieurs à C(r) prend, par paliers, toutes les valeurs k entières successives de 0 à l’infini.
Nota : Sans parler de D, on peut remarquer que le point (π, π2) n’est sur aucune médiatrice de deux points intègres.
Q2 – Un cercle qui contient 2009 points intègres a une surface voisine de 2009 ; le carré de son rayon vaut environ 2009/π = 639,5.
Les points intègres, dont la distance à l’origine est de cet ordre sont U = (21,14) et V = (24,8), avec OU2 = 637 et OV2 = 640.
On peut s’assurer que le cercle (O, OU) contient 2001 points en son intérieur et 8 sur sa circonférence et que le cercle (O, OV) contient 2009 points en son intérieur et 8 sur sa circonférence
Ainsi les cercles, de centre O et de rayon √638, √639 ou √640, contiennent exactement 2009 points intègres en leur intérieur.
Nota : Voici comment contrôler ce résultat.
Avec un tableur, j’ai associé au couple (m,n) avec 0 ≤ n ≤ m l’entier 1000m + n pour obtenir tous les couples en une seule colonne, par la formule :
successeur(x) = si x/1001 est entier alors 1000x/1001 + 1000 sinon x + 1
J’ai déduit de x les valeurs m, n, m2 + n2, en trois colonnes que j’ai copiées, par valeurs, pour les trier, par ordre croissant selon m2 + n2.
Une fois ce tri effectué, j’ai affecté aux couples (m, 0) et (m, m) la valeur 4 et aux autres la valeur 8, pour pouvoir, par cumul, connaître le nombre de points à l’intérieur des cercles de centre O passant par chaque point intègre.
