D259 − La barre à 180°
Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin
ABCD est un quadrilatère convexe dont AC est la plus grande distance entre deux sommets.
Peut-on avoir moins de 180° pour la somme des angles en B et D ? Solution par Patrick Gordon
Contrairement à l'intuition, la réponse est OUI.
Considérons le triangle ABC et son cercle circonscrit (C), avec l'angle B obtus pour fixer les idées. L'arc de ce cercle qui ne contient pas B est le lieu des points D du plan tels la somme des angles en B et D vaille exactement 180°. Dans le demi-plan limité par la droite AC qui ne contient pas B, tout point D extérieur à (C) est tel que la somme des angles en B et D < 180°.
Mais encore faut-il que AC soit bien la plus grande distance entre deux sommets, c’est-à-dire que AD, BD et CD soient < AC (pour AB et BC, c'est acquis par construction).
Dans la figure ci-après, le point D doit être :
- intérieur au cercle de centre A de rayon AC (vert), - intérieur au cercle de centre B de rayon AC (rouge), - intérieur au cercle de centre C de rayon AC (bleu), - extérieur au cercle circonscrit à ABC (noir).
Si cette figure est juste, la zone en jaune répond à la question.
Une figure comparable a été refaite à la main avec soin :
Les zones hachurées répondent à la question. Avec D en P, à la limite de la zone, on mesure à la main :
ABC = 98°
APC = 68°
Une figure tracée avec Geogebra devrait apporter confirmation de ce surprenant résultat.
