Enoncé D660 (Diophante) Objectif 2019
Partant d’un ensemble de points, Puce peut y ajouter un point si c’est le centre d’un cercle passant par 3 des points existant déjà. Zig lui donne un ensemble de départ de trois points A, B, C qui forment un triangle équilatéral de côté 6.
Q1 Montrer que Puce peut obtenir un ensemble de 8 points de diamètre
>10 (le diamètre de l’ensemble est la plus grande distance entre 2 de ses points).
Q2 Montrer qu’avec une démarche convenable et 400 points au plus, Puce peut obtenir un ensemble de diamètre >2019.
Pour les plus courageux avec l’aide éventuelle d’un logiciel (Geogebra ou autre) : déterminer le nombre minimum de points d’un ensemble de dia- mètre >2019.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Pour chaque point créé, je note entre parenthèses le triangle dont il est centre du cercle circonscrit.
Aux points donnés A, B, C, Puce ajoute D(ABC), puis E(BCD), F(CDE),G(ABF), H(ABG).
Les projections sur BC sont
– à distance 3/2 de B pour le milieu de AB; – à distance 2 de B pourG (c’est le milieu de BF. Les distances sur la médiatrice de AB sont 2/√
3 leurs projections sur BC. Ainsi la distance de G à AB est 1/√
3. Comme AB = 6, le point diamétralement opposé à Gest à distance 9√
3 de AB, à distance 28/√ 3 de G, etGH = 14/√
3 ; la distance de H à AB est 13/√ 3, d’où HC = 22/√
3>12.
Question 2
A la construction précédente, Puce peut en ajouter deux similaires cor- respondant àE, F, G, H tournés de±2π/3 autour de D. Il forme ainsi un triangle équilatéral de côté HD√
3 = 16, ayant encore Dpour centre.
Ce triangle peut être la nouvelle base, dont le centre est déjà connu, et dont la construction de 12 nouveaux points, équivalents deE, F, G, H, multiplie le diamètre de l’ensemble par 8/3.
Comme ln(2019/6)/ln(8/3) = 5,93. . ., 6 adjonctions de 12 points à A, B, C, D constitueront un ensemble de 76 points de diamètre > 2019.
Ce nombre se réduit à 75 si on abandonne la construction du dernier som- met du dernier triangle équilatéral, ce qui laisse un diamètre au moins égal au côté de ce triangle.
Je n’ai pas cherché une majoration plus serrée du nombre de points néces- saire.
