A709 Deux pièces fausses parmi vingt-quatre [*** à la main]
Solution
Trois pesées suffisent. On répartit les 24 pièces en quatre lots de 6 pièces chacun appelés A, B, C et D. Les deus premières pesées consistent à comparer A(plateau de gauche) vs B (plateau de droite) d’une part et C(plateau de gauche) vs D (plateau de droite) d’autre part.
Trois cas sont possibles :
1) A = B et C = D. On peut affirmer que le poids total des deux pièces est égal au poids total de deux bonnes pièces. En effet les 2 pièces sont dans le même lot, sinon au cours de l’une des deux pesées au moins, la balance pencherait d’un côté car l’une des pièces étant plus lourde et l’autre plus légère, il y aurait obligatoirement un déséquilibre.
2) A > B et C > D (ou tout autre couple d’inégalités strictes telles que A > B et C < D ou bien A < B et C > D etc…). Il y a une pièce fausse et une seulement dans A ou dans B mais il n’y en a pas deux. Sinon, les plateaux seraient équilibrés quand on compare C et D. La pièce la plus lourde est dans le plateau de gauche ou bien c’est la plus légère qui est dans le plateau de droite. Mêmes remarques s’agissant des résultats possibles de la pesée C vs D.
On effectue alors une troisième pesée : A + D vs B + C, c’est à dire qu’on regroupe dans deux lots distincts le lot le plus lourd de la 1ère pesée et le lot le plus léger de la 2ème pesée d’une part et le lot le plus léger de la 1ère pesée et le lot le plus lourd de la 2ème pesée d’autre part. De cette manière les deux pièces fausses se trouvent
nécessairement ensemble dans A+D ou dans B+C.
Si A + D = B + C, on peut alors affirmer à nouveau que le poids total des deux pièces est égal au poids total de deux bonnes pièces. Si a contrario A + D > B + C ou A + D <
B + C, la réponse est négative.
3) A = B et C > D ou A = B et C < D ou A > B et C = D ou A < B et C = D. On raisonne sans perte de généralité sur le couple A = B et C > D. La pièce la plus lourde se trouve obligatoirement dans le lot C qui fait pencher le plateau de gauche. La pièce la plus légère peut se trouver dans C ou dans D.
On effectue alors une troisième pesée : A + B vs C + D. Les pièces du lot A + B sont toutes bonnes tandis que le lot C + D contient les deux pièces fausses. On en déduit immédiatement que si A + B = C + D, alors la
réponse est de nouveau positive et devient négative en cas de déséquilibre.
