A733 – Pesée(s) minimale(s) [*** à la main]
Problème proposé par Bernard Vignes
Parmi 100 pièces d’apparences identiques alignées sur une même rangée, 26 sont fausses et forment une séquence unique. Les 74 autres pièces vraies ont le même poids tandis que les pièces fausses sont toutes plus légères.
On dispose d’une balance Roberval à deux plateaux.
Q₁ Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer au moins une pièce fausse.
Q₂ Déterminer le nombre minimum de pesées qui permettent de repérer au moins deux pièces fausses.
Solution
Q₁ Une seule pesée suffit
On met sur le plateau de gauche de la balance la pièce qui occupe la position n°25 et sur celui de droite la pièce qui est en position n°75.
Trois cas sont possibles :
1er cas : la balance penche à gauche,la pièce fausse est en position n°75 2ème cas :la balance penche à droite, la pièce fausse est en position n°25
3ème cas : les deux plateaux sont à l’équilibre. Les deux pièces qui sont en positions n°25 et 75 sont vraies.
Dès lors les pièces qui occupent les 24 positions n°1 à 24 sont aussi vraies ainsi que les pièces qui occupent les 25 positions n°76 à 100. Les 26 pièces fausses occupent donc un intervalle inclus dans l’intervalle [26,74].La pièce en position n°50 est nécessairement fausse car elle appartient à la fois aux intervalles extrêmes [26,51] et [49,74].
Q₂ Une seule pesée suffit
On met les 25 pièces qui occupent les positions n°1 à n°25 sur le plateau de gauche et les 25 pièces qui occupent les positions n°76 à 100 sur le plateau de droite.
Trois cas sont possibles :
1er cas : la balance penche à gauche. Les pièces en positions n° 1 à 25 sont toutes vraies et au moins une des pièces en positions n°76 à 100 est fausse. Il en résulte que les deux pièces en positions n°75 et 76 sont fausses.
2ème cas : la balance penche à droite. Les pièces en positions n° 76 à 100 sont toutes vraies et au moins une des pièces en positions n°1 à 25 est fausse. Il en résulte que les deux pièces en positions n°25 et 26 sont fausses.
3ème cas : les deux plateaux sont équilibrés. Comme l’un des deux lots de 25 pièces contient nécessairement des pièces vraies, les 50 pièces qui viennent d’être pesées sont toutes vraies. D’après le raisonnement supra, les pièces en position 49,50 et 51 sont fausses.
